Возведение в степень

Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Калькулятор степеней

Возвести в степень

Возведений в степень: 189970

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n-ой степенью числа a, если p равно числу a, умноженному само на себя n раз: p = an = a·…·a
n — называется показателем степени, а число a — основанием степени.

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 34
Решение: как было сказано выше, 34 = 3·3·3·3 = 81.
Ответ: 34 = 81.

Пример 2. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 55
Решение: аналогично, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Ответ: 55 = 3125.

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a — это единица, поделённая на a в степени n: a-n = 1 an .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1. Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2-4

Решение: как было сказано выше, 2-4 = 1 24 = 1 2·2·2·2 = 0.0625.

Ответ: 2-4 = 0.0625.

  • Квадратное уравнение
  • Теорема Виета
  • Биквадратные уравнения
  • Симметрические, возвратные и однородные уравнения
  • Алгебраические уравнения
  • Решение квадратного уравнения
  • Решение квадратного неравенства
  • Квадратичные неравенства
  • Метод интервалов для решения рациональных неравенств
  • Решение рациональных неравенств методом интервалов
  • Метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств
  • Модуль уравнения и неравенства
  • Равносильные замены неравенств, содержащих переменную величину под знаком модуля
  • Уравнения, содержащие выражение с переменной под знаком модуль
  • Уравнения с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
  • Решение неравенств, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
  • Равносильные неравенства, содержащие переменную величину или выражение под знаком модуля
  • Решение неравенств, содержащих выражение под знаком модуль
  • Неравенства с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Степень с целым показателем
  • Все формулы по теме «Степень»
  • Степень с произвольным показателем
  • Арифметический корень
  • Свойства арифметического корня
  • Все формулы по теме «Арифметический квадратный корень»
  • Корень n-ной степени
  • Все формулы по теме «Радикал» (корень n-ой степени)
  • Формулы действий с корнями для четной степени
  • Формулы действий с корнями для нечетной степени
  • Иррациональные выражения
  • Иррациональные уравнения
  • Схемы равносильных преобразований выражений, содержащие квадратные корни
  • Решение простейших иррациональных неравенств
  • Иррациональные уравнения
  • Иррациональные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Равносильность иррациональных неравенств: теоретический справочник
  • Свойства иррациональных неравенств
  • Иррациональные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Понятие логарифма
  • Свойства логарифмов
  • Все формулы по теме «Логарифм»
  • Логарифм: теоретический справочник
  • Показательные и логарифмические неравенства
  • Область допустимых значений (ОДЗ)
  • Системы и совокупности уравнений
  • Общие методы преобразований уравнений
  • Неравенства с переменной
  • Основные свойства равносильности неравенств
  • Системы и совокупности неравенств
  • Метод замены множителей
  • Метод замены функций для решениия неравенств
  • Схемы замен функций в решении неравенств
  • Примеры замен функций в решении неравенств
  • Решение показательных неравенств
  • Решение логарифмических неравенств
  • Схемы равносильных преобразований логарифмических неравенств
  • Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании, в схемах
  • Схема Горнера
  • Решение неравенств с кратными корнями методом интервалов
  • Показательные и логарифмические неравенства: тереотический справочник
  • Показательные неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Логарифмические неравенства: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Уравнения и неравенства смешанного типа: теоретический справочник
  • Системы линейных уравнений с двумя переменными
  • Системы нелинейных уравнений с двумя переменными: теоретический справочник
  • Образцы решения заданий по теме «Системы линейных уравнений»
  • Образцы решения заданий по теме «Уравнения и неравенства смешанного типа»
  • Образцы решения заданий по теме «Алгебраические неравенства»
  • Образцы решения заданий по теме «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»
  • Образцы решения заданий по теме «Тригонометрические уравнения»
  • Образцы решения заданий по теме «Логарифмические уравнения»
  • Образцы решения заданий по теме «Показательные уравнения»
  • Образцы решения заданий по теме «Алгебраические уравнения»
  • Уравнения: общий теоретический справочник
  • Системы нелинейных уравнений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства первого типа
  • Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства второго типа
  • Примеры решений неравенств обобщенным методом интервалов
  • Обобщенный метод интервалов решения неравенств: неравенства третьего типа
  • Решение иррациональных неравенств: методы, приемы, равносильные переходы
  • Решение иррациональных уравнений: методы, приемы, равносильные переходы
  • Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы
  • Преобразование степеней: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Преобразование дробно-иррациональных выражений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
  • Преобразование логарифмических выражений: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Решение показательных уравнений: теоретический справочник
  • Решение логарифмических уравнений: теоретический справочник
  • Показательные уравнения: примеры и достаточные знания свойств, необходимые для решения заданий
  • Логарифмические уравнения: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий

Возведение в степень, правила, примеры.

Степень, ее свойства, возведение в степень


В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.


Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)5», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень


По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, . Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида .

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Выполните возведение числа −2 в четвертую степень.

Решение.

Ответ:

(−2)4=16.

Пример.

Найдите значение степени .

Решение.

Данная степень равна произведению вида . Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел, заканчиваем возведение в степень: .

Ответ:

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст .

Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: .

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени – это есть само число a, то есть, . Это есть частный случай формулы при n=1.

Например, (−9)1=−9, а число в первой степени равно .

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье степень с целым показателем мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом a0=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 50=1, (−2,56)0=1 и , а 00 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Пример.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2.

Решение.

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 23=2·2·2=8. Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Найдите значение степени (1,43)−2.

Решение.

. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43. Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком:

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

Ответ:

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Действительно, . Например, 3−1=1/3, и .

Возведение числа в дробную степень

Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a – любое положительное число, m – целое, а n – натуральное число. Так возведение числа a в дробную степень m/n заменяется двумя действиями: возведением в целую степень (о чем мы говорили в предыдущем пункте) и извлечением корня n-ой степени.

На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n-ой степени из числа a, после чего полученный результат возводится в целую степень m.

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Пример.

Вычислите значение степени .

Решение.

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Ответ:

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Пример.

Вычислите (44,89)2,5.

Решение.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Ответ:

(44,89)2,5=13 501,25107.

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0-4,3.

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 21,174367…. Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 21,17≈2,250116. Таким образом, 21,174367…≈21,17≈2,250116. Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 21,174367…≈21,1743≈2,256833.

Список литературы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *