Уравнения

Виды уравнений

Определение и основные виды уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные величины, обозначенные буквой, которые необходимо определить.

Например.

Некоторые классы уравнений решаются аналитически (среди алгебраических это линейные, квадратные, кубические уравнения и уравнения четвертой степени), то есть решение записывается в виде формулы. Алгебраические уравнения высших степеней (более, чем четвертая) в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые сводятся к уравнениям низших степеней.

В общем случае, если аналитическое решение не существует, применяют численные методы.

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

где — многочлен переменных , которые называются переменными или неизвестными.

Например.

Степенью алгебраического уравнения называется степень многочлена .

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнение вида

Например. — линейное уравнение с одной переменной.

Квадратным уравнением (уравнением второй степени) называется уравнение

Здесь — переменная, — старший или первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный коэффициент.

Например.

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен единице.

Например.

Уравнением с параметрами называется математическое равенство, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Например.

Уравнение, содержащее трансцендентные функции, называется трансцендентным.

Например.

Трансцендентная функция — это аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Алгебраической называется элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

ЗАМЕЧАНИЕ Обычно трансцендентные уравнения содержат показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Функциональным называется уравнение, которое определяет связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках.

Например.

Уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком производной, называется дифференциальным.

Например.

Интегральным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком интеграл.

Например.

Разница между выражением и уравнением

  • 2019

В математике вы, возможно, встречались с терминами выражение и уравнение очень часто. Поскольку оба объединяют число и / или переменные, люди часто неправильно понимают выражение для уравнения. Однако эти два математических термина не одинаковы, и большая разница заключается в их расположении, которое объясняет, что они представляют. Лучший способ определить, является ли данная проблема выражением или уравнением, состоит в том, что если оно содержит знак равенства (=), это уравнение .

Однако, если он не содержит знак равенства (=), то это просто выражение . Он несет числа, переменные и операторы, которые используются, чтобы показать ценность чего-либо. Прочтите эту статью, чтобы понять основные различия между выражением и уравнением.

Сравнительная таблица

Основа для сравнения выражение Уравнение
Имея в виду Выражение — это математическая фраза, которая объединяет числа, переменные и операторы, чтобы показать ценность чего-либо. Уравнение — это математическое утверждение, в котором два выражения заданы равными друг другу.
Что это? Фрагмент предложения, обозначающий одно числовое значение. Предложение, которое показывает равенство между двумя выражениями.
Результат упрощение Решение
Символ отношения нет Да, знак равенства (=)
Стороны Односторонний Двусторонний, левый и правый
Ответ Численная величина Утверждение, то есть истина или ложь.
пример 7x — 2 (3x + 14) 7x — 5 = 19

Определение выражения

В математике выражение определяется как фраза, которая группирует числа (константы), буквы (переменные) или их комбинации, объединенные операторами (+, -, *, /), для представления значения чего-либо. Выражение может быть арифметическим, алгебраическим, полиномиальным и аналитическим.

Поскольку он не содержит знака равенства (=), он не показывает никаких отношений. Следовательно, он не имеет ничего общего с левой или правой стороной. Выражение можно упростить, комбинируя подобные термины, или его можно оценить, вставив значения вместо переменных, чтобы получить числовое значение. Примеры : 9x + 2, x — 9, 3p + 5, 4m + 10

Определение уравнения

В математике термин уравнение означает утверждение равенства. Это предложение, в котором два выражения помещены равными друг другу. Чтобы удовлетворить уравнение, важно определить значение соответствующей переменной; это известно как решение или корень уравнения.

Уравнение может быть условным или тождественным. Если уравнение является условным, то равенство двух выражений верно для определенного значения участвующей переменной. Однако, если уравнение является тождественным, то равенство истинно для всех значений, содержащихся в переменной. Существует четыре типа уравнений, которые обсуждаются ниже:

  • Простое или линейное уравнение : уравнение называется линейным и представляет собой наибольшую степень рассматриваемой переменной в 1.
    Пример : 3x + 13 = 8x — 2
  • Одновременное линейное уравнение : при наличии двух или более линейных уравнений, содержащих две или более переменных.
    Пример : 3x + 2y = 5, 5x + 3y = 7
  • Квадратичное уравнение . Когда в уравнении наибольшая степень равна 2, оно называется квадратным уравнением.
    Пример : 2×2 + 7x + 13 = 0
  • Кубическое уравнение . Как следует из названия, кубическое уравнение — это уравнение степени 3.
    Пример : 9×3 + 2×2 + 4x -3 = 13

Ключевые различия между выражением и уравнением

Точки, приведенные ниже, суммируют важные различия между выражением и уравнением:

  1. Математическая фраза, которая группирует числа, переменные и операторы, чтобы показать значение чего-либо, называется выражением. Уравнение описывается как математическое утверждение с двумя выражениями, равными друг другу.
  2. Выражение — это фрагмент предложения, который обозначает одно числовое значение. Напротив, уравнение — это предложение, показывающее равенство между двумя выражениями.
  3. Выражение упрощается посредством оценки, где мы подставляем значения вместо переменных. И наоборот, уравнение решено.
  4. Уравнение обозначается знаком равенства (=). С другой стороны, в выражении нет символа отношения.
  5. Уравнение двустороннее, где знак равенства разделяет левую и правую стороны. В отличие от выражения является односторонним, не существует разграничения, как левой или правой стороны.
  6. Ответом выражения является либо выражение, либо числовое значение. В отличие от уравнения, которое может быть только истинным или ложным.

Заключение

Следовательно, из приведенного выше объяснения ясно, что существует большая разница между этими двумя математическими понятиями. Выражение не показывает никакой связи, в то время как уравнение делает Уравнение содержит «знак равенства», поэтому оно показывает решение или в конечном итоге представляет значение переменной. Однако в случае выражения знак равенства отсутствует, поэтому нет определенного решения и в конечном итоге не может быть отображено значение соответствующей переменной.

Что такое уравнение? Как решать уравнения?

Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. 🙂 Так что же такое уравнение?

То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает.

Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком «=» (равно).

Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальных уроках.

Что значит решить уравнение?

Идём дальше.

Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. 🙂 При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то – нет.

Так вот:

Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.

Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно — корни уравнения.

Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней – целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)

А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…

В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.

Для чего нужны уравнения?

Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.

А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)

Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение – в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные – всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)

Итак, запоминаем:

Уравнения – очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

А какие бывают уравнения?

Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:

1. Линейные,

2. Квадратные,

3. Дробные (или дробно-рациональные),

4. Прочие.

Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.

Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. 🙂

В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы и правила.

Называются эти правила – тождественные (или – равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.

Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но – крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.

Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?

Итак, вперёд!

Первое тождественное преобразование:

К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.

Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. 🙂

Например, такое крутое уравнение:

Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:

А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!

Вот что у вас происходит:

И результат получается тем же самым:

Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!

Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака – это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.

И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях – незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…

Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.

Второе тождественное преобразование:

Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:

Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?

Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

Вот так:

Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:

Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. 🙂

И все дела.)

Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)

Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?

Применение тождественных преобразований к решению уравнений.

Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.

Пример для новичков:

1 – х = 3 – 2х

Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: «С иксами влево, без иксов – вправо».

Эта мантра – универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:

1 – х +2х = 3

Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос – с каким знаком? Ответ «с никаким» не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак «плюс». Так уж в математике повелось: ничего не написано – значит, плюс.)

И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:

-х + 2х = 3 — 1

Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:

х = 2

Это было совсем примитивное уравнение.

Теперь пример покруче, для старшеклассников:

Решить уравнение:

Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование («С иксами влево ….»). Для этого слагаемое с иксом (то есть, -log3x) переносим влево. Со сменой знака:

А числовое выражение (log34) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:

Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:

х=3

Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование – переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):

Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.

Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.

Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)

Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)

Решить уравнение:

7х=28

Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…

Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)

Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком – пожалуйста (вопрос – зачем?). А семёрку отдельно – никак нет.

Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка – мешает. Вот и делим левую часть на семь. «Очищаем» икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.

Ответ: х=4

Или такое уравнение:

Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично – поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…

Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 – не самая трудная работа.)

Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:

Решить уравнение:

Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. 🙂 Вот и делим на 2 всю левую часть:

Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:

Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)

Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений – штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.

Проблема первая (для малоопытных):

Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…

Например, такое линейное уравнение:

10х + 5 = 5х – 20

С чего начинать? Можно начать с переноса:

10х – 5х = -20 — 5

А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:

Как видим, и так и сяк решать можно. И это – в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: «Как правильно?»

По-всякому правильно! Кому как удобнее. 🙂 Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.

Проблема вторая (для всех…ну… почти):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…

Обе эти проблемы устраняются только одним способом – практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче. И в итоге не математика командует вами, а вы – математикой. 🙂

Алгебра

Глава 6. Линейные уравнения

6.1. Уравнение. Определение и основные понятия

Учитель

Давай сначала узнаем, что такое уравнение?

Определение

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

Ученик

Понятно. А в математике есть только одно определение уравнения?

Учитель

Нет. Давай дадим еще другое, более распространенное определение уравнения на основе понятия функции.

Ученик

Напомните мне про функцию, пожалуйста.

Учитель

Ну конечно же. Если — аргумент, то есть линейная функция от него. Эта функция, как и всякая другая, иногда для удобства обозначается одной буквой . Однако если и не пользоваться обозначением функции через , то она все равно остается той же функцией. Так, например, есть та же линейная функция, что и . Это замечание относится к любой функции. Если строить график, то значения функции будут являться ординатами точек ее графика.

А теперь другое определение уравнения:

Определение

Равенство двух функций от одних и тех же аргументов называется уравнением.

Ученик

А как называются в уравнении аргументы функций?

Определение

Аргументы функций, составляющих уравнение, называют неизвестными этого уравнения.

Учитель

А теперь давай обратимся к теме нашего занятия и узнаем все-таки, что такое линейное уравнение?

Определение

Уравнение, содержащее только линейные функции одного и того же аргумента, называется линейным уравнением (уравнением первой степени) с одним неизвестным.

Ученик

Ну, с этим все понятно. А как же находить неизвестные?

Учитель

Для этого нужно решить уравнение. Посмотри, как правильно звучит определение.

Определение

Решить уравнение — значит найти все те значения неизвестного (неизвестных), при которых значения функций в обеих частях уравнения равны. Все такие значения неизвестного (неизвестных) называются корнями или решениями уравнения.

Ученик

Интересно, а сколько же может быть корней в уравнении?

Учитель

В отношении числа корней уравнения могут быть следующие случаи:
1) единственный корень

Пример

имеет только один корень: .

2) несколько корней

Пример

имеет четыре корня: , , и , так как при подстановке вместо любого из этих корней левая часть также равна нулю.

3) корней нет

Пример

— не существует такого числа , чтобы, прибавив к нему разные числа и , можно было получить равные числа.

4) бесконечное множество корней

Пример

— в обеих частях уравнения одна и та же функция , поэтому при любом значении значения обеих частей равны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *