Углы смежные

Смежные углы и их свойства.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой.

Смежные углы (понятие и определение)

Свойства смежных углов

Вертикальные углы, прямой угол, развернутый угол, смежные углы, тупой угол


Смежные углы (понятие и определение):

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой. Таким образом, вместе смежные углы составляют развёрнутый угол.

Рис. 1. Смежные углы

∠ α, ∠ β – смежные углы

В свою очередь, развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180°.

Поэтому сумма величин смежных углов составляет 180 градусов.

Из этого следует, что величина угла β, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180° – α) градусов.

β = 180 – α .


Свойства смежных углов:

1. Сумма величин смежных углов равна 180 градусам.

2. При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов.

Рис. 2. Смежные углы

∠ α, ∠ β; ∠γ, ∠δ – смежные углы,

∠ α = ∠γ; ∠ β = ∠δ

3. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол. Такие углы равны между собой.

Рис. 3. Смежные углы

∠ α = ∠ β = 90°

4. В паре смежных углов один угол всегда тупой, а другой – острый либо оба угла являются прямыми.

5. Синусы смежных углов равны.

sin α = sin β

6. Косинусы и тангенсы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.

cos α = – cos β,

tg α = – tg β

Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

Определение.

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

∠1 и ∠2 — смежные углы

Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4,

∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4

Но, так как ∠1 =∠4, ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.

Свойство смежных углов.

Сумма смежных углов равна 180º.

Задачи.

1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

Дано:

∠AOC и ∠BOC — смежные,

∠AOC на 42º больше, чем ∠BOC

Найти: ∠AOC и ∠BOC.

Решение:

Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

Имеем уравнение:

х+х+42=180

2х=180-42

2x=138

x=69

Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.

Ответ: 69º и 111º.

2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

Дано:

∠1 и ∠2 — смежные,

∠1 : ∠2= 4:5

Найти:∠1 и ∠2

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

Имеем уравнение:

4k+5k=180

9k=180

k=20

Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.

Ответ: 80º и 100º.

3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,

∠AOD в 5 раз больше, чем ∠BOD

Найти: ∠AOD, ∠BOD

Решение:

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD — смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

Имеем уравнение:

x+5x=180

6x=180

x=30

Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.

Ответ: 30º и 150º.

Могут ли смежные углы быть равными?

Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

Вывод:

угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

wiki.eduVdom.com

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Рис.1

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Рис.2

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рис.3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рис.4

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Рис.5

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Какие углы называются смежными (определение смежных углов)

Не каждый из нас помнит, какие углы называются смежными, и для того, чтобы не ударить в грязь лицом вспомним определение смежных углов.

Определение смежных углов

Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180 градусов. Например, для угла в 115 градусов смежным будет угол в 65 градусов.

На следующем рисунке угол АОВ является смежным углу ВОС, их сумма составляет 180 градусов. Сторона ВО у них общая. Стороны АОВ и ВОС лежат на прямой линии и образуют развернутый угол АОС.

Свойства (тригонометрические соотношения):

  1. Синусы смежных углов равны.
  2. Косинусы и тангенсы также равны, но отличаются знаками (один из косинусов(или тангенсов) положительный «+», а второй отрицательный «–»).

Теорема о смежных углах

Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Доказательство теоремы:

Углы а1b и a2b на следующем рисунке являются смежными. Луч b проходит между сторонами а1 и a2 развернутого угла. Сумма углов а1b и a2b таким образом равна развернутому углу, который равен 180 градусам.

Следствия теоремы:

  1. Если два угла равны, то углы, которые являются для них смежными, также равны.
  2. Если угол не развернутый, то он не равен 180 градусам.
  3. Угол, который является смежным прямому углу (90 градусов), также является прямым.
  4. Угол, смежный с острым углом (величина которого меньше 90 градусов), является тупым (величиной больше 90 градусов), а смежный тупому – острым.

Близкие понятия в геометрии

Когда говорят о смежных углах, как правило, заходит речь и о вертикальных углах. Вертикальными называются два угла, образованные при пересечении двух прямых, но не являющиеся прилегающими.

Теорема о вертикальных углах

При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Те из них, которые не являются смежными — вертикальные. Прилегающие к ним, которые образуют прямую линию, являются смежными. Каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, таким образом вертикальные углы равны между собой.

На следующем рисунке пары углов АОВ — СОD и AOD — ВОС являются вертикальными, а углы АОВ — ВОС и AOD — COD – смежными.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *