Тригонометрия как решать уравнения

Содержание

Тригонометрические уравнения… для подготовки к ЕГЭ по математике на 100 баллов!

Задача №1

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

То мы бы записали вот такой ответ:

Или (так как )

Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

Тогда можно записать:

Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто , без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при : для этого домножим наше равенство на :

Теперь избавимся от , разделив на него обе части:

Теперь избавимся от восьмёрки:

Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)

или

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать .

Рассмотрим вначале первую серию:

Ясно, что если мы будем брать то в результате мы будем получать положительные числа, а они нас не интересуют.

Значит нужно брать отрицательным. Пусть .

Тогда:

При корень будет уже:

А нам нужно найти наибольший отрицательный!! Значит идти в отрицательную сторону здесь уже не имеет смысла. И наибольший отрицательный корень для этой серии будет равен .

Теперь рассматриваем вторую серию:

И опять подставляем: , тогда:

— не интересует!

Тогда увеличивать больше не имеет смысла! Будем уменьшать! Пусть , тогда:

— подходит!

Пусть . Тогда

Тогда — наибольший отрицательный корень!

Ответ:

Задача №2

Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

Теперь снова выражаем слева:

Умножаем обе стороны на

Делим обе стороны на

Всё, что осталось – это перенести вправо, изменив её знак с минуса на плюс.

У нас опять получается 2 серии корней, одна с , а другая с .

или

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим первую серию:

Ясно, что первый отрицательный корень мы получим при , он будет равен и будет наибольшим отрицательным корнем в 1 серии.

Для второй серии

Первый отрицательный корень будет получен также при и будет равен . Так как , то – наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: .

Задача №3

Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

Как и раньше, выражаем в левой части:

Ну вот и замечательно, здесь вообще всего одна серия корней! Опять найдём наибольший отрицательный.

Ясно, что он получается, если положить . И корень этот равен .

Ответ:

Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.

  1. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  2. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

Сверься с решениями и ответами:

Задача №1

Выразим

Наименьший положительный корень получится, если положить , так как , то

Ответ:

Задача №2

Наименьший положительный корень получится при .

Он будет равен .

Ответ: .

Задача №3

При получаем , при имеем .

Ответ: .

Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

  1. Тригонометрические уравнения для начального уровня (см выше).
  2. Формулы тригонометрии

Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед.

Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач повышенной сложности. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

  1. Решение уравнения
  2. Отбор корней

Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

Четыре категории задач повышенной сложности (ранее С1)

  1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
  2. Уравнения, сводящиеся к виду .
  3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
  4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов, то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

Если же тебе попалось уравнение 4 типа, то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

  1. Формулы приведения
  2. Синус, косинус двойного угла

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

Тогда мое уравнение примет следующую форму:

Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на , получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

или

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

Промежуток вот такой:

Или его еще можно записать вот так:

Ну что, давай отбирать корни:

Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные , все равно они дадут неотрицательные корни.

Возьмем , тогда – многовато, не попадает.

Пусть , тогда – снова не попал.

Еще одна попытка — , тогда – есть, попал! Первый корень найден!

Стреляю еще раз: , тогда – еще раз попал!

Ну и еще разок: : — это уже перелет.

Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .

Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):

– недолет!

– снова недолет!

– опять недолет!

– попал!

– перелет!

Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения

  • Решите уравнение
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Решение:

Опять пресловутые формулы приведения:

Опять не вздумай сокращать!

Откуда

или

Первое уравнение имеет корни:

А второе:

Теперь снова поиск корней.

Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:

Теперь первая серия и она попроще:

Если – подходит

Если – тоже годится

Если – уже перелет.

Тогда корни будут следующие:

Самостоятельная работа. 3 уравнения.

Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  1. Решите уравнение
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку
  3. Ре­ши­те урав­не­ние
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Уравнение 1. Проверка самостоятельной работы.

И снова формула приведения:

или

Первая серия корней:

Вторая серия корней:

Начинаем отбор для промежутка

— перелет — перелет

Ответ: , , .

Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.

Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

тогда или

или

или

Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как , то .

Составим таблицу: промежуток:

Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi

Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.

Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

Сократим на 2:

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

или

Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать…

Уравнения вида:

, — числа

Данное уравнение решается делением обеих частей на :

Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .

Опять построим табличку, как я делал и ранее:

— попал!
— перелет!

Ответ: .

Уравнения, сводящиеся к виду:

Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

Решается делением обеих частей на косинус:

Таким образом, решить уравнение вида

Все равно, что решить

Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры:

  1. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Пример 1.

Первое – ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на

Делаем отсев корней:

Промежуток:

— попал
— попал
— перелет!

Ответ:

Пример 2.

Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

Основное тригонометрическое тождество:

Синус двойного угла:

Окончательно получим:

Или

Отсев корней: промежуток .

— попал
— попал
— перелет!

Ответ: .

Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример, чтобы ты мог поупражняться:

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Давай сверяться:

Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на :

Отсев корней:

— маленький недолет на
— попал!
— снова в яблочко!
— и снова удача на нашей стороне!
— на сей раз уже перелет!

Ответ: .

Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

Пример.

  • Решить уравнение: .
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

Тогда

Отсюда , .

Первое уравнение имеет корни:

А второе вот такие:

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку

Для : — подходит!
Для : — выскочил за интервал
Для : — подходит!
Для : — снова выскочил за интервал!
Выскочил за интервал Выскочил за интервал

Ответ: .

Давай вместе разберем чуть более сложный пример:

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

Можем, например, представить

А заодно и

Тогда мое уравнение примет вид:

А теперь внимание, фокус:

Давай разделим обе части уравнения на :

Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно ! Сделаем замену , тогда получим:

Уравнение имеет следующие корни:

Отсюда:

Или

Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке .

Нам также нужно учитывать, что

Так как и , то

— маловато — маловато
— подойдет — подойдет
— перебор — перебор

Ответ:

Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение:

  • Ре­ши­те урав­не­ние
  • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

Теперь я могу перейти к уравнению:

Но при (то есть при ).

Теперь все готово для замены:

Тогда или

Однако обрати внимание, что если , то при этом !

Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

Таким образом, корни уравнения следующие:

Теперь производим отсев корней на промежутке :

— подходит
— перебор

Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке , и он равен .

Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.

  1. Решите уравнение
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
  2. Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

  1. Работаем по формулам приведения:
    Подставляем в уравнение:
    Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:
    Теперь легко сделать замену:
    Ясно, что — посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:
    Ищем нужные нам корни на промежутке
    Для : — подходит
    Для : — подходит
    Для : — выскочил
    Для : — тем более выскочил

    Ответ: .

  2. Здесь замена видна сразу:
    Тогда или
    или
    Отбор корней на промежутке :
    — подходит! — подходит!
    — подходит! — подходит!
    — много! — тоже много!

    Ответ:

Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным. Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

Пример 1.

Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку .

Решение:

У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

Решим каждое из уравнений:

или

или

А теперь второе:

или ,

Теперь давай посмотрим на серию:

Ясно, что нам не подходит вариант , так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

Если же – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .

Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку .

— не подходит — подходит
— подходит — подходит
перебор перебор

Тогда корни следующие:

Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение:

Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

Решение этого неравенства:

Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство .

Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

: , но Нет!
Да!
Да!

Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить . Тогда ответ можно записать в следующем виде:

Ответ:

Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

Пример 3.

Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

Теперь второе уравнение:

Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

Число надо понимать как радианы. Так как радиана – это примерно градусов, то радианы – порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

Оно меньше нуля!

А значит – не является корнем уравнения.

Теперь черед .

Сравним это число с нулем.

Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы – это примерно градусов. В то же время

так как , то , а значит и
,

Ответ: .

Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.

Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

Пример 4.

– корень не годится, ввиду ограниченности косинуса

Теперь второе:

В то же время по определению корня:

Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

или

Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

Ответ: ,

И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью». Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

Пример 5.

Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше.

или

или

Теперь работаем со знаменателем:

Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

Если – четное, то имеем:

так как , то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

неверно!

Если же -нечетное , то:

В какой четверти лежит угол ? Это угол второй четверти. Тогда все углы – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

– подходит!

Точно так же разбираемся со второй серией корней:

Подставляем в наше неравенство:

Если – четное , то

– углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если – нечетное , то:

тоже подходит!

Ну вот, теперь записываем ответ!

Ответ:

Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

Тренировка

  1. Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решения:

  1. Первое уравнение:
    или
    ОДЗ корня:
    Второе уравнение:
    Отбор корней, которые принадлежат промежутку
    Принадлежит?
    \displaystyle \pm \frac{\pi }{2} да
    нет
    нет

    Ответ:

  2. или
    или
    Но
    Рассмотрим: . Если – четное, то
    – не подходит!
    Если – нечетное, : – подходит!
    Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
    или
    Отбор корней на промежутке :
    — не подходит — подходит
    — подходит — много
    — подходит много

    Ответ: , , .

  3. или
    Так как , то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
    Вторая часть:
    В то же время по ОДЗ требуется, чтобы
    Проверяем найденные в первом уравнении корни:
    Если знак :
    – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
    Если знак :
    – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

Ответ: , .

Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ — с использованием формул.

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения.



Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка.

Рассмотрим этот метод на примере.

Немного теории.

Все корни уравнений вида cos(х) = а, где \( |a| \leq 1 \), можно находить по формуле
\( x = \pm \text{arccos}(a) +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Все корни уравнений вида sin(х) = а, где \( |a| \leq 1 \), можно находить по формуле
\( x = (-1)^n \text{arcsin}(a) + \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

1) \( sin(6x) = 1 \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{2} +2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( sin(6x) = \frac{1}{3} \Rightarrow 6x = (-1)^n \text{arcsin} \frac{1}{3} +\pi n \Rightarrow \)
\( \Rightarrow x = \frac{(-1)^n}{6} \text{arcsin} \frac{1}{3} +\frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{12} +\frac{\pi n}{3}, \;\; x = \frac{(-1)^n}{6} \text{arcsin} \frac{1}{3} +\frac{\pi n}{6}, \; n \in \mathbb{Z} \) \( 4\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} = 2\sin^2 \frac{x}{2} + 2\cos^2 \frac{x}{2} \) \( 3\sin^2\frac{x}{2} -4\sin\frac{x}{2} \cos\frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \) 1) \( \text{tg}\frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} +\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( \text{tg}\frac{x}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = \text{arctg}\frac{1}{3} +\pi n \Rightarrow x = 2 \text{arctg} \frac{1}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \frac{\pi}{2} +2\pi n, \;\; x = 2 \text{arctg} \frac{1}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \) \( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin(x) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \) Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что \( \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \;\; \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \) Такое число \( \varphi \) существует, так как \( \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 + \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 = 1 \) Таким образом, уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
откуда \( \sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \) где \( \varphi = \text{arccos} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \) или \( \varphi = \text{arcsin} \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \) Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt{a^2+b^2} = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

\( \frac{4}{5}\sin(x) + \frac{3}{5}\cos(x) = 1 \)
Введём вспомогательный аргумент \( \varphi \), такой, что \( \cos \varphi = \frac{4}{5}, \; \sin \varphi = \frac{3}{5} \) Исходное уравнение можно записать в виде
\( \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1, \;\; \sin(x+\varphi) = 1 \)
откуда \( x+\varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \;\; \varphi = \text{arccos} \frac{4}{5} \) \( x = \frac{\pi}{2} — \text{arccos} \frac{4}{5} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \) Ответ \( x = \frac{\pi}{2} — \text{arccos} \frac{4}{5} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

1) \( \sin(x) =0, \; x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( 2 \cos(x) -1 =0, \; \cos(x) = \frac12, \; x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
Ответ \( x = \pi n, \; x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

1) \( \sin(x) =0, \; x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z} \)
2) \( \sin(3x) =0, \; x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Заметим, что числа \( \pi n \) содержатся среди чисел вида \( x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)
Следовательно, первая серия корней содержится во второй. Ответ \( x = \frac{\pi n}{3}, \; n \in \mathbb{Z} \)

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

\(6t^2+13t+7=0\). Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\).

Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\). Сделаем замену \(t=\sin 2x\). Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in \), то \(t\in\). Получим уравнение:

\(2t^2+5t+2=0\). Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\).

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm{tg}\, x+3\mathrm{ctg}\,x+4=0\)

\(\begin{cases} t^2+4t+3=0\\t\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \left\):

\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\).

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\). Разделим, например, на \(\cos^2 x\):

\(a \ \dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}+b \ \dfrac{\sin x\cos x}{\cos^2x}+c \ \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}=0 \Leftrightarrow a\mathrm{tg}^2\,x+b\mathrm{tg}\,x+c=0\)

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm{tg}\,x\) сводится к квадратному уравнению:

\(at^2+bt+c=0\), способ решения которого вам известен.

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\). Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\):

\(\mathrm{tg}^2\,x+3\mathrm{tg}\,x-4=0\) и сделаем замену \(t=\mathrm{tg}\,x, \ t\in\mathbb{R}\). Уравнение примет вид:

\(t^2+3t-4=0\). Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\). Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\). Разделим, например, на \(\cos x\):

\(a \ \dfrac{\sin x}{\cos x}+b \ \dfrac{\cos x}{\cos x}=0\), откуда имеем \(a\mathrm{tg}\, x+b=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\, x=-\dfrac ba\)

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\):

\(1+\mathrm{ctg}\, x=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\). Тогда уравнение примет вид:

\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\). Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm{tg}\,x=t\) сводится к:

\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\). Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3\). Сделаем обратную замену:

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Сделаем подстановку \(\sin 2x=\dfrac{2\mathrm{tg}\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}, \ \cos2x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\,x}{1+\mathrm{tg}^2\,x}\) и замену \(\mathrm{tg}\,x=t\):

\(\dfrac{(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3}{1+t^2}=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\), то есть всегда \(\ne 0\))

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac{\sqrt3}2\cos 2x=-\dfrac12\)

\(\sin 2x\cos \dfrac{\pi}3-\sin \dfrac{\pi}3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\), тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac{t^2-1}2\).

Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\).

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\):
\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\):
\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

Тригонометрические уравнения

Рекомендации к теме

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

( sinx + cosx ) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку .

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:
.

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:
.

3. Однородные уравнения

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:
.

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
а ) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б ) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ : arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:
.

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:
.

2) Решить уравнение sin2x – sinx = 2cosx – 1

Решение: Применим формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) = 2cosx – 1

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *