Равенство треугольников

Второй и третий признаки равенства треугольников

Повторение понятия «равные треугольники», первого признака равенства треугольников

Для начала вспомним из материалов предыдущих уроков, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке указаны два равных отрезка и два равных угла.

Рис. 1. Углы А и А1 равны, АВ = CD

Доказательство признаков равенства треугольников

Рассмотрим теперь равенство треугольников. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В таком случае совместятся все стороны и углы треугольников.

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А1В1С1

Теперь мы готовы сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины А и А1, , отрезки АС и А1С1 совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то совпадет с .

Теорема доказана.

Рис. 3. Равные треугольники АВС и А1В1С1

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано . Доказать: АВС и .

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате

данного действия имеем три случая:

1. Луч СС1 внутри .

Рис. 4. Равные треугольники АВС и А1В1С1

В таком случае по первому признаку.

1. Луч СС1 совпадает с одной из сторон .

2. Луч СС1 лежит вне угла .

Рис. 5. Равные треугольники АВС и А1В1С1. Случаи 2, 3

Случаи 2 и 3 предлагаем рассмотреть самостоятельно.

Теорема доказана.

Рис. 6. Третий признак равенства треугольников

Решение задач

Рассмотрим некоторые задачи, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1: Известно, что . Найти стороны АВ и ВС.

Решение: Выполним пояснительный рисунок к задаче.

Рис. 7. Чертеж к примеру 1

Поскольку , то треугольники АВС и ADC равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что .

Ответ: 11 см, 19 см.

Пример 2: В изображенных треугольниках , , и медианы ВМ и ВМ1 тоже равны. Доказать равенство треугольников: .

Рис. 8

Доказательство:

Вследствие того, что М и М1 – середины равных отрезков, то А1М1 = АМ. , ВМ = ВМ1 (по условию). Следовательно, по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов .

, (по условию), (по доказанному). Следовательно, по первому признаку.

Что и требовалось доказать.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

  1. Математика (Источник).
  2. School.xvatit.com (Источник).

Базисные понятия

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

  • Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
  • В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
  • Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.

Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

  1. Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
  2. Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
  3. Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
  4. Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
  5. Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
  6. Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.

Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

  1. Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
  2. Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
  3. Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
  4. Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.

Планиметрия

Глава 1. Треугольники

1.3. Три признака равенства треугольников

Определение

Два треугольника, которые можно совместить наложением, называются равными.

Из определения непосредственно следует: в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и обратно — против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 1 (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: треугольник и треугольник , , , =.

Требуется доказать: треугольник равен треугольнику .

Доказательство:

Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.

Теорема 2 (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сделайте чертеж, запишите, что дано и что требуется доказать, и докажите наложением треугольников.

Теорема 3 (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Запишите сокращенно условие и заключение теоремы.

Доказательство:

Для доказательства приложим треугольники большими сторонами. Треугольник займет положение . Треугольник и треугольник — равнобедренные. Из равенства углов при основании получаем, что . Используем первый признак равенства треугольников.

Треугольник. Признаки равенства треугольников.

Треугольник – геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не принадлежащие одной прямой.

Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника три угла. Перефразируя, треугольник – это многоугольник, у которого три угла.

Практическое значение признаков равенства треугольников сводится к нижеследующему: согласно формулировке треугольники равны, в случае когда получается их наложить друг на друга так, чтобы они совпали; однако реализовать наложение треугольников иногда бывает трудно, а иногда и невозможно.

Признаки равенства треугольников позволяют заменить наложение треугольников нахождением и сопоставлением отдельных основополагающих компонентов (сторон и углов) и таким образом обосновать равенство треугольников.

У равных треугольников тождественны и их соответствующие элементы.

И так треугольники равны, если у них соответственно равны:

1. Две стороны и угол между ними:

2. Сторона и прилежащие к ней два угла:

3. Все три стороны:

Еще выделяют четвертый признак, который не так широко освещен в школьном курсе математики как предыдущие три. Он формулируется следующим образом:

Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий большей из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны.

Теория по геометрии 7-9 класс

  • Главная
  • Избранное
  • Популярное
  • Новые добавления
  • Случайная статья

12

Виды углов:

· острый угол – от 0 до 90 градусов;

· прямой угол – равен 90 градусам;

· тупой угол – от 90 до 180 градусов;

· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Свойство смежных углов:

· сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

Свойство вертикальных углов:

· вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

Виды треугольников:

· остроугольный треугольник – все три угла острые;

· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Свойства равных треугольников:

· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании равны;

· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

· углы равны по 60 градусов;

· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

· накрест-лежащие;

· соответственные;

· односторонние.

Свойства параллельных прямых:

· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Признаки параллельности прямых:

· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Следствия из аксиомы:

· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника:

· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

Свойства прямоугольного треугольника:

· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

· противоположные углы и стороны равны;

· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

Признаки параллелограмма:

· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

Виды трапеций:

· произвольная;

· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;

· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции:

· углы при основаниях равны;

· диагонали равны.

Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

Свойство ромба:

· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

Свойство прямоугольника:

· у прямоугольника диагонали равны

Признак прямоугольника:

· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

Свойство площадей:

· равные многоугольники имеют равные площади;

· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =

Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

S =

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =

Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =

Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =

Формула Герона, где р – полупериметр: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =

Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =

Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =

Площадь круга, где r – радиус: S =

Длина окружности, где r – радиус: C = 2

Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:

Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =

Свойства площадей треугольников:

· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.

Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

Пропорция – равенство нескольких дробей.

Основное свойство пропорции: *d = c*b

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество: sin2(a) + cos2(a) = 1

Тригонометрические формулы:

·

·

Табличные углы:

300 450 600
sin
cos
tg
ctg

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

Синусы смежных углов равны

Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Теоремы о касательных:

1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теорема о хордах:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следствия из измерений центрального и вписанного углов:

1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

Четыре замечательные точки треугольника:

· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

· медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· высоты треугольника пересекаются в одной точке;

· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисе:

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Теорема о медианах:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема о серединном перпендикуляре:

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *