Прямоугольный треугольник синус

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

База знаний ЕГЭ Математика 19-08-2017, 10:05

Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

    Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

    Синус, косинус произвольного угла

    Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР, который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ. Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1.

    Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

    Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным.

    Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности.

    То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

    Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

    А так как R = 1, то sin(α) = y0.

    В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

    Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное.

    Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является абсцисса точки Р вектора на окружности.

    То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

    Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

    А так как R = 1, то cos(α) = x0.

    В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

    Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное.

    Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.

    Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

    Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

    Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

    Котангенсом произвольного угла называется отношение косинуса к синусу.

    Рассматривая прямоугольный треугольник — отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате.

    Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.

    Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.

    Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.

    Предыдущий урок Следующий урок

    Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

    Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

    Равносторонний треугольник (понятие, определение)

    Свойства равностороннего треугольника

    Признаки равностороннего треугольника

    Формулы равностороннего треугольника

    Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник


    Равносторонний треугольник (понятие, определение):

    Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

    Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

    По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

    Рис. 1. Равносторонний треугольник

    АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника


    Свойства равностороннего треугольника:

    1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

    2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

    3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

    В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

    В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

    Рис. 2. Равносторонний треугольник

    АK = BF = CD

    4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

    Рис. 3. Равносторонний треугольник

    R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

    5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

    6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

    Рис. 4. Равносторонний треугольник

    AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1


    Признаки равностороннего треугольника:

    – если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

    – если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.


    Формулы равностороннего треугольника:

    Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

    Рис. 6. Равносторонний треугольник

    Формула радиуса вписанной окружности (r):

    Формула радиуса описанной окружности (R):

    ,

    Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

    Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

    В данной публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

    Определение треугольника

    Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которые образованы путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.

    • Точки A, B и C – вершины треугольника.
    • Отрезки AB, BC и AC – стороны треугольника, которые часто обозначаются в виде одной латинской буквы. Например, AB = a, BC = b, AC = c.
    • Внутренность треугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами треугольника.

    Стороны треугольника в вершинах образуют три угла, традиционно обозначающиеся греческими буквами – α, β, γ и т.д. Из-за этого треугольник еще называют многоугольником с тремя углами.

    Углы можно, также, обозначать с помощью специального знака “∠“:

    • α – ∠BAC или ∠CAB
    • β – ∠ABC или ∠CBA
    • γ – ∠ACB или ∠BCA

    Классификация треугольников

    В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:

    1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.

    2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

    3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).

    4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

    5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).

    6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

    Свойства треугольника

    1. Любая из сторон треугольника меньше двух оставшихся, но больше их разности. Для удобства примем стандартные обозначения сторон – a, b и с. Тогда:

    b – c < a < b + c, при b > с

    Это свойство применяется для проверки отрезков на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.

    2. Сумма углов любого треугольника равняется 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда являются острыми.

    3. В любом треугольнике напротив большей стороны находится больший угол, и наоборот.

    Примеры задач

    Задание 1
    В треугольнике известны два угла – 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.

    Задание 2
    Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.

    Все они верны, следовательно, данные отрезки могут быть сторонами треугольника.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *