Проекция это в геометрии

ПРОЕКЦИЯ (В ГЕОМЕТРИИ)

найдено в «Большой Советской энциклопедии» Проекция (от лат. projectio — бросание вперёд, выбрасывание), геометрический термин, связанный с операцией проектирования (проецирования), которую можно определить следующим образом (см. рис. 1): выбирают произвольную точку S пространства в качестве центра проектирования и плоскость П’, не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроектировать точку А (прообраз) пространства на плоскость П’, через центр проекций S («глаз») проводят прямую SA до её пересечения в точке А’ с плоскостью П’. Точку А’ (образ) и называется проекцией точки А. Проекцией фигуры F называется совокупность П. всех её точек. Прямая линия, не проходящая через центр П., проектируется в виде прямой. Описанная П. носит название центральной или конической. Она существенно зависит от выбора центра проекций S. При проектировании точек данной плоскости П на плоскость П’ (см. рис. 2) встречаются следующие затруднения. На плоскости П имеются такие точки, для которых не существует образов на плоскости П’. Такова, например, точка В, если проектирующая прямая SB параллельна плоскости П’. Для устранения этого затруднения, происходящего от свойств евклидова пространства, последнее пополняют бесконечно удалёнными элементами (несобственными элементами).Именно, принимают, что параллельные прямые BS и РА’ пересекаются в бесконечно удалённой точке B’; тогда её можно считать образом точки В на плоскости П’. Аналогично бесконечно удалённая точка С является прообразом точки C’ (см. рис. 2). Благодаря введению бесконечно удалённых элементов, между точками плоскости П и точками плоскости П’ устанавливается взаимно однозначное соответствие, осуществляемое при помощи центральной П. Такое соответствие носит название перспективной коллинеации.

Большое практическое значение имеет вид проектирования, при котором центром П. является бесконечно удалённая точка пространства ═(см. рис. 3). При этом все проектирующие прямые параллельны и П. называется параллельной или цилиндрической. Взаимно однозначное соответствие между точками плоскостей П и П’, установленное при помощи параллельного проектирования, называется перспективно-аффинным или родственным (см. Аффинные преобразования).

В черчении широко применяется частный вид параллельного проектирования, когда плоскость П. расположена перпендикулярно (ортогонально) к направлению проектирования. П. в этом случае называется прямоугольной или ортогональной.

Центральные и параллельные (в частности, ортогональные) П. широко используют в начертательной геометрии, причём получаются различные виды изображений (перспективные, аксонометрические и др.). Специальные виды проектирования на плоскость, сферу и др. поверхности применяются в географии, астрономии, кристаллографии, топографии и т.д. Таковы картографические проекции, гномонические проекции, стереографические проекции и др. Об ортогональной проекции направленных отрезков (векторов) см. в ст. Векторное исчисление.

Н. Ф. Четверухин.

Проекция (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция.

Проекции

  • Параллельная
    • Прямоугольная (ортогональная)
      • Аксонометрическая
        • Изометрическая
        • Диметрическая
        • Триметрическая
    • Косоугольная
      • Аксонометрическая
        • Изометрическая
        • Диметрическая
        • Триметрическая
  • Перспективная (центральная)

Прочие

  • Рыбий глаз

Проекция (лат. projectio — выбрасывание вперёд)

  1. изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов зрения, фотографии, камеры-обскуры. Термин проекция в этом контексте также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод. Широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Изучением методов построения проекций как инженерная дисциплина занимается начертательная геометрия.
  2. обобщение проекции в первом смысле (точнее — её разновидности — параллельной проекции) для отображения точек, фигур, векторов пространства любой размерности на его подпространство любой размерности, например, кроме проекции точек трёхмерного пространства на плоскость, это может быть проекция точек трёхмерного пространства на прямую, точек плоскости на прямую, точек 7-мерного пространства на его 4-мерное подпространство и т. п., а также проекция вектора на любое подпространство исходного пространства, и в особенности, как особенно важный частный случай, на прямую или на направление. Проекция в этом смысле находит широкое применение в отношении векторов (как в элементарном контексте, так и в абстрактном), при использовании декартовых координат и т. п.

Общее определение

Отображение из пространства в себя называется проекцией если

Проекция из трёхмерного пространства на плоскость

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом, если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной проекции.

Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей — это аксонометрическая проекция.

  • При любом виде проекции отрезок прямой переходит в отрезок прямой (в вырожденном случае — когда отрезок лежит на проекционном луче — в точку); прямая может перейти в прямую или в луч.
  • Это свойство заметно упрощает приложение проекции в изобразительных целях, особенно в техническом черчении, когда объект содержит много прямолинейных элементов. В последнем случае достаточно спроецировать концы отрезков и соединить их на чертеже прямыми.
  • Эллипс или окружность переходят в эллипс (в вырожденном случае — в отрезок или окружность).

Проекция из произвольного пространства на его подпространство

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) — широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также — очень широко — при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных или аффинных).

Отдельно следует упомянуть проекцию точки на прямую и проекцию вектора на прямую (на направление).

Ортогональная проекция на прямую и на направление

Чаще всего используется ортогональная проекция.

Ортогональная проекцияточекна прямую

Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операция проектирования, и в отношении её результата (при операции проектирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

Элементарное описание ортогональной проекции точки на прямую сводится к тому, что из точки на прямую следует опустить перпендикуляр, и его пересечение с прямой даст образ точки (проекцию точки на эту прямую). Это определение работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве, и в пространстве любой размерности.

Элементарное определение проекции вектора на прямую легче всего дать, представив вектор направленным отрезком. Тогда на прямую можно спроектировать его начало и его конец, и направленный отрезок от проекции начала к проекции конца исходного вектора даст его проекцию на прямую.

Проекцией вектора на некоторое направление обычно называют число, совпадающее по абсолютной величине с длиной проекции этого вектора на прямую, определяющую это направление; знак же числа выбирается так, что оно считается положительным, когда направление этой проекции совпадает с данным направлением, и отрицательным, когда направление противоположно.

  • Последнее определение очень просто заменить на эквивалентное с использованием скалярного произведения: если направление задаётся единичным вектором e, то проекция любого вектора a на это направление равно скалярному произведению a•e.
  • Это же можно переписать , где — длина вектора , — угол между вектором и направлением, на которое ищется проекция.

Неортогональная проекция на прямую и на направление

Неортогональная проекция используется реже, к тому же даже при использовании, особенно в элементарных контекстах, этот термин не всегда используется.

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k

Проще всего неортогональную проекцию на прямую можно задать, задав саму эту прямую и плоскость (в двумерном случае — вместо плоскости другую прямую, в случае n-мерного пространства — гиперплоскость размерности (n-1)), пересекающую прямую. Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию.

В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением). Поэтому собственно для неортогональной проекции надо потребовать, чтобы эта ортогональность отсутствовала.

Для неортогональной проекции вектора на прямую и на направление определения получаются, исходя из приведённого определения проекции точки, прямо аналогично тому, как это было описано в параграфе об ортогональной проекции.

  • Надо, правда, иметь в виду, что по умолчанию под проекцией вектора на прямую или на направление понимается всё же ортогональная проекция.

Тем не менее понятие неортогонального проектирования может быть полезным (по крайней мере, если не бояться терминологической путаницы) для введения косоугольных координат и работы с ними (через них может быть в принципе довольно легко определено понятие координат точки и координат вектора в этом случае).

См. также

  • Проектор (математика)

Ссылки

  • МЭСБЕ. Статья «Проекция»
  • Проекция — статья из Большой советской энциклопедии
  • Проекционный аппарат, Фотоувеличитель, Проекционное печатание, Кинопроекционный аппарат // Фотокинотехника: Энциклопедия / Главный редактор Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981.

Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции.
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:

Проекцией отрезка будет отрезок.

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.

Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки. Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

цилиндра:

и шара:

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании. С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

Иногда в задачах требуется найти площадь прямоугольной проекции фигуры.

Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S cosφ, где φ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В следующей статье рассказано, как выбрать наиболее удачный ракурс для построения чертежей в задачах по стереометрии, а также о распространенных ошибках, которые могут помешать решению.

проекция

В Википедии есть страница «проекция».

Русский

В Викиданных есть лексема проекция (L152186).

Морфологические и синтаксические свойства

падеж ед. ч. мн. ч.
Им. прое́кция прое́кции
Р. прое́кции прое́кций
Д. прое́кции прое́кциям
В. прое́кцию прое́кции
Тв. прое́кцией
прое́кциею
прое́кциями
Пр. прое́кции прое́кциях

про-е́к-ци·я

Существительное, неодушевлённое, женский род, 1-е склонение (тип склонения 7a по классификации А. А. Зализняка).

Корень: -проекц-; суффикс: -иj; окончание: -я .

Произношение

  • МФА:

Семантические свойства

Значение

  1. геометр. перенос точек фигуры с помощью пучка воображаемых проецирующих световых или зрительных лучей ◆ Географическая карта является изображением участка земной поверхности в той или иной проекции.
  2. геометр. изображение, полученное с помощью такого переноса ◆ План здания представляет собой его проекцию на горизонтальную плоскость ◆ Плоский вектор полностью определяется своими проекциями на координатные оси.
  3. геометр. величина такого изображения ◆ Координаты точки можно определить как проекции её радиуса-вектора на оси координат.
  4. увеличенное изображение на экране неподвижных или подвижных объектов с помощью светооптического устройства ◆ Кинозрители видят на экране проекцию кадров киноплёнки, полученную с помощью кинопроектора.

Синонимы

  1. проецирование
  2. изображение
  3. изображение

Антонимы

Гиперонимы

  1. отображение, антипроекция
  2. изображение, образ
  3. длина, длина отрезка
  4. изображение

Гипонимы

  1. рирпроекция
  2. диапроекция, эпипроекция

Родственные слова

Ближайшее родство

  • существительные: проецирование, проектор
  • прилагательные: проекционный, проективный
  • глаголы: проецировать, спроецировать

Этимология

Происходит от лат. prōjectio «выбрасывание, протягивание, вытягивание», далее из лат. projicere «бросать; выбрасывать вперёд», далее из pro «вперёд, для, за, вместо» + jacere «бросать», из праиндоевр. *ye-.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

  • изометрическая проекция

Перевод

Список переводов

  • Английскийen: projection
  • Ивритhe: הטל м. (hете́ль), הטלה ж. (hатала́)
  • Испанскийes: proyección
  • Итальянскийit: proiezione
  • Немецкийde: Projektion
  • Польскийpl: projekcja
  • Французскийfr: projection

Анаграммы

  • цекропия

Библиография

    Для улучшения этой статьи желательно:

    • Добавить все семантические связи (отсутствие можно указать прочерком, а неизвестность — символом вопроса)
    • Добавить хотя бы один перевод для каждого значения в секцию «Перевод»

    Проекция

    Проекция — (от лат. projectio – бросание вперед) — психологический механизм, впервые рассмотренный З. Фрейдом.

  1. В классическом психоанализе — процесс, посредством которого собственные черты, эмоции, отношения и т. д. индивида приписываются им кому-то другому. Прерывание контакта с окружающей средой. Это сопровождается отрицанием, что он сам имеет эти чувства или тенденции. В речи выглядит как замена местоимения «я» на местоимение «ты» (или «они», если речь идет о целой группе людей). «Я им не нравлюсь», — думает волнующийся перед публичным выступлением докладчик, «Ты на меня злишься», — жалуется тот, кто не в силах признать и принять свою собственную агрессию. Проекция выполняет функции защитного механизма, оберегая индивида от тревоги, свидетельствует о наличии некоторого подавленного базового конфликта;
  2. В других психодинамических теориях — процесс непроизвольного приписывания субъективных процессов одного человека другим. Этот процесс рассматривается как нормальный процесс психического развития, не обязательно отражающий невротические тенденции;
  3. Восприятие событий и стимулов окружающей среды (особенно неоднозначных) в терминах собственных ожиданий, потребностей, желаний и т. д. Это значение полностью нейтрально относительно патологического аспекта проекции и составляет основу для использования проективных методик.

Проекция (из книги Фредерика Перлза «Свидетель Терапии»)

Противоположностью интроекции является проекция. Если интроекция — это тенденция принять на себя ответственность за то, что в действительности является частью среды, то проекция — это тенденция сделать среду ответственной за то, что исходит из самого человека. Примером крайнего случая проекции может служить паранойя, клинически характеризуемая наличием у пациента хорошо организованной системы бреда. Параноик как правило оказывается в высшей степени агрессивной личностью; неспособный принять на себя ответственность за собственные иллюзии, желания и чувства, параноик приписывает их объектам или людям в своей среде. Его убежденность, что его преследуют, фактически является утверждением о том, что он хотел бы преследовать других. Но проекция существует и не в таких крайних формах; необходимо тщательно различать проекцию как патологический процесс, и продумывание предположений, которое может быть нормальным и здоровым. Планирование и предвосхищение, поиски и маневры при игре в шахматы и многих других действиях предполагают наблюдение и делание предположений относительно внешнего мира. Но эти предположения так и понимаются как предположения. Когда игрок в шахматы продумывает несколько ходов вперед, он делает ряд предположений об умственных процессах противника, как бы говоря: «Если бы я был им, я сделал бы то-то и то-то.» Но он понимает, что делает предположения, которые не обязательно будут соответствовать тому, что руководит поведением его противника, и он знает, что это его собственные предположения.

В отличие от этого, скованная сексуальными запретами женщина, которая жалуется на то, что все к ней пристают, или холодный, отчужденный, высокомерный мужчина, обвиняющий людей в том, что они враждебно к нему относятся, — примеры невротической проекции. В этих случаях люди делают предположения, основанные на собственной фантазии, не сознавая, что это только лишь предположения. Кроме того они не сознают происхождения собственных предположений.

Художественное творчество также требует каких-то предположений и проекций. Писатель часто буквально проецирует себя в своих героев, становится ими в то время, как он о них пишет. Но, в отличие от проецирующего невротика, он при этом не теряет представлений о самом себе. Он знает, где кончается он сам и начинаются его герои, хотя бы даже в процессе самого творчества он и терял чувство границы и становился кем-то другим.

Невротик использует механизм проекции не только по отношению к внешнему миру; он пользуется им и по отношению к себе самому. Он отчуждает от себя не только собственные импульсы, но и части себя, в которых возникают эти импульсы. Он наделяет их объективным, так сказать, существованием, что может сделать их ответственными за его трудности и помочь ему игнорировать тот факт, что это части его самого. Вместо активного отношения к событиям собственной жизни, проецирующий субъект становится пассивным объектом, жертвой обстоятельств.

Когда хорист жалуется на свой мочевой пузырь, причиняющий ему неприятности, — это прекрасный пример проекции. Здесь поднимает голову безобразное «оно», и наш герой оказывается чуть ли не жертвой собственного мочевого пузыря. «Это просто-таки происходит со мной; я должен выносить это,» — говорит он. Мы оказываемся свидетелями возникновения маленького фрагмента паранойи. Как интроектору можно было бы задать вопрос, кто говорит, и ответом будет — «они», так проектору следует напомнить: «Это твой собственный мочевой пузырь, это ты испытываешь потребность в уринации.» — Когда проектор говорит «оно» или «они», он, как правило, имеет в виду «я».

Таким образом, в проекции мы сдвигаем границу между собой и остальным миром немного «в свою пользу», что дает нам возможность снимать с себя ответственность, отрицая принадлежность себе тех аспектов личности, с которыми нам трудно примириться, которые кажутся нам непривлекательными или оскорбительными.

К тому же, как правило, проекция является следствием того, что наши интроекты вызывают в нас чувство отчуждения и презрения к себе. Поскольку наш хорист интроецировал представления о том, что хорошие манеры более важны, чем удовлетворение насущных личных нужд, поскольку он интроецировал убеждение, что следует «выносить все это, улыбаясь», он вынужден проецировать или даже изгонять из себя те импульсы, которые противоречат его внешней деятельности. Это не он испытывает потребность в уринации; он хороший мальчик, он хочет оставаться с группой и продолжать петь. Уринации требует этот противный, непослушный мочевой пузырь, который как назло оказался в нем, который он считает как бы «интроектом» — чуждым элементом, насильно внедренным в него против его воли.

Проецирующий невротик, как и интроектор, неспособен различать грани собственной целостной личности, которые действительно принадлежат ему самому, и то, что навязано ему извне. Он рассматривает свои интроекты как себя самого, а те части себя, от которых он хотел бы избавиться, он рассматривает как непереваренные и несъедобные интроекты. Посредством проецирования он надеется освободить себя от воображаемых «интроектов», которые в действительности являются вовсе не интроектами, а аспектами его самого. Интроецирующая личность, являющаяся полем битвы между воюющими между собой неассимилированными идеями, получает себе параллель в виде проецирующей личности, которая делает мир ареной битвы своих личных конфликтов. Чрезмерно осторожный, мнительный человек, который говорит вам, что хотел бы иметь друзей, хотел бы быть любимым, но в то же время добавляет, что «никому нельзя верить, все только и ждут, как бы ухватить у вас что-нибудь», -типичный пример проекции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *