Найти углы равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD.
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
  • Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

  1. Если в треугольнике два угла равны.
  2. Сумма углов треугольника 180°.
  3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
  4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
  5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

  • b = 2a \sin( \beta /2)= a \sqrt { 2-2 \cos \beta }
  • b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

  • a=\frac { b } { 2 \sin(\beta /2) } = \frac { b } { \sqrt { 2-2 \cos \beta } }
  • a=\frac { b } { 2 \cos\alpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

  • L = a sina
  • L = \frac { b } { 2 } *\tg\alpha
  • L = a \sqrt { (1 + \cos \beta)/2 } =a \cos (\beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

  • L = \sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треугольника? подскажите пожалуйсьа( я плачу(((

У трикутнику ABCкути B и C видносяться як 5:3 а кут А на 80 бильший за их ризницею Дан треугольник АВС: А (-3; -4; -5), В(1; 0; 3), С(2; 7; -3). Найдите косинус угла В.​ Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна k, величина угла между диагоналями основания равна α, диагональ меньшей боковой грани соста вляет с плоскостью основания угол β. Найдите объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда.Пожалуйста подробное решение Какое из утверждений не является признаком равенства прямоугольных треугольников? 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно рав ны катетам другого, то такие треугольники равны. 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники раны. 4. Если два острых угла одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум острым углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Прямоугольная площадка длиной 80 метров и шириной 25 метров наклонена так, что одна из меньших сторон находится выше противоположной стороны на 1,2 ме тра. Сколько кубических метров грунта нужно насыпать, чтобы сделать площадку горизонтальной? Срочно!!!Заранее спасибо! В треугольнике АВС АС=ВС, угол А равен 750 . Найдите угол С. Какое из утверждений верное? 1. В треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является высотой. 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, м едиана и высота, проведенные из любой вершины – три разных отрезка. 3. В треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой. 4 .В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Найдите координаты вектора 2а̄ + 3b̄, если а̄ {2;0; -3}, b̄ {5; -1;2}​ Найдите координаты точки К, если А(0; 3; 4) и В(1; 4; 4), а точка К – середина отрезка АВ.​

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *