Найти биссектрису треугольника

Как найти сторону равностороннего треугольника? Если биссектриса 9 корень 3

2 13/11 + 1 9/13 и 5 — 1 1/3 Найдите значение выражение (точно плз) :Одинадцать целых три седьмых +5 целых​ Написать заметку о том, почему нравится или не нравится математика. Пригодятся ли знания по математике именно тебе. Решите анаграмму срочно даю 50 балов «РГЕАТК»(тоесть переставте буквы что бы получилось слово). −6,1⋅(−3/4)= (Ответ запишите в виде десятичной дроби!) 6. На рисунке изображен многогранник, составленный из трех прямоугольных параллелепипедов. Найдите его объем. Сколько процентов от суммарного объема д вух больших параллелепипедов составляет объем меньшего параллелепипеда? Отрезок длиной 20 см разделён на две части и на каждой из них построен квадрат. Найдите стороны квадратов, если разность площадей этих треугольников 8 0 кв.см. * Бак воды имеет форму прямоугольного параллелепипеда. В основании лежит квадрат со стороной 12 дм, а высота бака — 9 дм. Бак наполнен водой наполовину. Какой будет высота уровня воды в баке, если его поставят на боковую грань? Кабель диаметром 46 мм заключен в свинцовую оболочку толщиной 3 мм. На изготовление оболочки израсходовано 1, 2 тонны свинца. Какова длина кабеля? (пл отность свинца 11,4 г/см3) Известно, что точки A, B, C и D — вершины прямоугольника. Дано: A(0;0);C(2;1);D(2;0). Определи координаты четвёртой вершины B: B( ; )

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Рис.1

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Рис.2

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD. Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD. Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Рис.3

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

Тогда

Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

Рис.4

Тогда справедлива формула:

Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Рис.5

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство. Из рисунка 5 следует формула

|EB| = 2c cos α .

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

Рис.6

и воспользуемся теоремой косинусов:

Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:

Следовательно,

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высотаCE.

Рис.7

Доказать, что выполнено равенство:

Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то

Поскольку CE – высота, то

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие. Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Урок 5.

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

· длины прилежащих сторон и угол между ними

· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону

· длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

.

Обозначим биссектрису AD через la .

Требуется найти la.

Так как

то

Отсюда

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

Следовательно,

Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Получаем

Ответ: 10.

Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

Решение.

Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD — биссектриса, AD=12.

Используя формулу

,

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Получаем

Ответ. 235,2.

Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

Решение.

Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

Посмотреть решение.

2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

Посмотреть решение.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Посмотреть решение.

4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

Посмотреть решение.

Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Определение и формулы биссектрисы равнобедренного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Биссектриса угла – это луч, делящий данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего против основания, является медианой и высотой.

Три биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.

Для биссектрисы равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Биссектрисы делят противоположные боковые стороны треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам:
  • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  • Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

ПРИМЕР 1

Задание В равнобедренном треугольнике провели биссектрисы и , которые пересекаются в точке . Найти угол , если .
Решение Поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:

Рассмотрим треугольник . Так как и – биссектрисы углов и соответственно, то

Тогда, согласно теореме про сумму углов треугольника,

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание В равнобедренном треугольнике с боковой стороной см и основанием см провели биссектрису . Найти длины отрезков и .
Решение В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а значит

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.

Пусть , тогда , отсюда

Таким образом,

Получили, что см, а см.

Ответ см, см

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Дано:

ΔABC,

СF — биссектриса ∠ABC

Доказать:

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

∠CBF=∠CDA (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AC).

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

По свойству пересекающихся хорд

Отсюда

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Утверждение 2

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника:

a1+b1=c, b1=c-a1, поэтому

Согласно утверждению 1,

откуда

Что и требовалось доказать.

Аналогично,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *