Магический квадрат

Как работает магический квадрат?

Данная загадка быстро разлетелась по всему Интернету. Тысячи людей начали задаваться вопросом о том, как работает магический квадрат. Сегодня вы, наконец-то, найдете ответ!

Тайна магического квадрата

На самом деле данная загадка довольно проста и сделана с расчётом на человеческую невнимательность. Давайте разберемся, как работает магический черный квадрат, на реальном примере:

  1. Давайте загадаем любое число от 10 до 19. Теперь давайте вычтем из данного числа его составляющие цифры. К примеру, возьмем 11. Отнимем от 11 единицу и после – еще одну единицу. Выйдет 9. На самом деле не важно, какое число от 10 до 19 вы возьмете. Результат вычислений всегда будет 9. Числу 9 в «Магическом Квадрате» соответствует первая цифра с рисунками. Если присмотреться, то можно увидеть, что очень большому количеству цифр присвоены одни и те же рисунки.
  2. Что же будет, если взять число в пределах от 20 и до 29? Может, вы уже сами догадались? Правильно! Результатом вычислений всегда будет 18. Цифра 18 соответствует второй позиции на диагонали с рисунками.
  3. Если же взять число от 30 до 39, то, как можно уже угадать, выйдет число 27. Число 27 также соответствует цифре на диагонали столь необъяснимого «Магического Квадрата».
  4. Подобный алгоритм остается правдивым для любых чисел от 40 до 49, от 50 до 59 и так далее.

То есть выходит, что неважно, какое число вы загадали — «Магический Квадрат» угадает результат, ведь в клетках под номерами 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 и 81 на самом деле находится один и тот же символ.

На самом деле данную загадку можно легко объяснить с помощью простого уравнения:

  1. Вообразите любое двухзначное число. В независимости от числа его можно представить в виде x*10+y. Десятки выступают в роли “x”, а единицы в роли “у”.
  2. Вычтите из загаданного числа цифры, которые составляют его. Складываем уравнение: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
  3. Число, которое вышло в результате вычислений должно указывать на определенный символ в таблице.

Не важно, какая цифра будет в роли “x”, так или иначе вы получите символ, у которого номер будет кратный девяти. Для того чтобы убедится в том, что под разными номерами находится один символ, достаточно просто посмотреть на таблицу и на номера 0,9,18,27,45,54,63,72,81 и последующие.

Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.

Паскаль

§1. Магические квадраты. Исторические сведения

Среди различных занимательных вопросов теории чисел одним из интереснейших являются вопросы, связанные с магическими (волшебными) квадратами.

Тайна древнего талисмана

В Европе они появились в XIV веке. Или в XV …Мнения расходятся. Но и так, и этак – давние были времена.

Еще до своего появления в Европе они существовали века и десятки веков. Неизвестно, какая из древних цивилизаций была их родиной, неизвестна страна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Известно только, что эти талисманы появились до нашей эры и что их родиной был Древний Восток.

С незапамятных времен, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной.

Оказалось, что, складывая различные числа, можно получить одно и то же число. Оказалось также, что, располагая эти числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи, можно, складывая числа слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое число оказалось в отдельной клетке. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой. Квадрат можно было резцом высечь на камне, тростниковым камышом написать на пергаменте, кончиком кисти, смоченным в растертой туши, нарисовать на бумаге, рыхлой и слабой.

Квадрат можно было продать верующим. Зашитый в ладанку, он становился амулетом и (конечно!) защитой его владельца от всякого зла.

В Китае квадрат 3х3 называют Ло-Шу. И по сей день его можно увидеть на амулетах, которые носят в Восточной Азии и в Индии, и на многих пассажирских судах, где он украшает крышки столиков для карточных игр.

Некоторые представления о том, каких фантастических размеров достигали сочинения о магических квадратах (предмете, не имеющем сколько-нибудь принципиального значения), можно получить из того факта, что французский трактат на эту тему, выпущенный в 1838 году, когда о магических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, вышел в трех объемистых томах.

С давних времен и поныне исследование магических квадратов процветало как своеобразный культ, часто не без мистического тумана. Среди лиц, занимавшихся их изучением, были и известные математики, как Артур Кели и Освальд Веблен, Леонард Эйлер и такие любители, как, например, Бенджамин Франклин.

Магический квадрат – это квадрат, разделенный на клетки (их количество одинаково по горизонтали и вертикали). Клетки заполнены числами от 1 до n2 (n – порядок квадрата, то есть количество клеток по горизонтали или по вертикали) так, что сумма чисел во всех горизонтальных, вертикальных рядах и на главных диагоналях равна одному и тому же числу. Это число называется магической суммой (постоянной) квадрата и вычисляется по формуле:

Sn = n(n2+1)/2

Магических квадратов порядка 2 не существует, а порядка 3 существует только один (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях), постоянная которого равна 15.

Как только переходим к порядку 4, сложность магических квадратов резко возрастает. Если и на этот раз не считать различными квадраты, которые можно перевести друг в друга поворотами и отражениями, то различных магических квадратов будет ровно 880 типов, причем многие из них будут даже «более магическими», чем это требуется по определению магического квадрата.

В начале XVI века магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравер Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 году гравюру, названную им «Меланхолия». На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат четвертого порядка.

Во времена Дюрера меланхолический темперамент считался свойственным творческому гению, он был уделом ученых мужей, «чья бледность – печать глубокой мысли». Прекрасная женщина Меланхолия на гравюре Дюрера, возможно, олицетворяет гений человеческой мысли, человеческого труда. Именно ему (гению) угрожает планета меланхоликов Сатурн.

Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвертого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии (поскольку Юпитер и Сатурн, если верить астрологам, враждовали между собой).

Вот поэтому в правом верхнем углу гравюры Дюрера изображен магический квадрат именно четвертого порядка.

Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17.

Способ построения симметричных квадратов очень прост: вписать по порядку числа от 1 до 16 в клетки квадрата 4´4, а затем поменять местами числа, расположенные на главных диагоналях, относительно центра, и симметричный квадрат готов.

Дюрер переставил у своего квадрата два соседних столбца (что не повлияло на свойства квадрата) так, что числа в двух средних клетках нижней строки стали указывать дату создания гравюры: 1514.

Древнейший из дошедших до нас квадратов четвертого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхадружен (Индия). Этот магический квадрат относится к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

Так что же определяет интерес к магическим квадратам в наше время?

А. Обри: «…ценность теории определяется не только возможностью ее практического использования, для которого она разработана, но также ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требуя глубоких знаний, представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи разрешения, сочетания, симметрии, обобщения и т. д. Можно сказать, что эта умственная гимнастика включает такие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум.

С другой стороны, …естественная красота, которую содержат магические квадраты, многократно встречающаяся и разнообразная, достаточна для того, чтобы привлечь любителей…»

§2. Классические алгоритмические методы построения магических квадратов

2.1. Индийский метод построения магических квадратов нечетного порядка

1°. Числа от 1 до n2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата.

2°. Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.

3°. Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда, то есть в клетку с координатами (m, 2m).

На рисунке изображен магический квадрат третьего порядка. Для ясности на этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата.

9

2

4

8

1

6

8

3

5

7

3

4

9

2

Из полученного по индийскому методу магического квадрата третьего порядка можно поворотами около центра и отражениями в разные стороны получить еще семь других магических квадратов. Этими восемью магическими квадратами исчерпываются все магические квадраты третьего порядка.

2.2. Метод Раусс-Болла построения магических квадратов четного порядка

Методы построения магических квадратов с четным числом клеток нелинейны. Как правило, в этих методах из чисел 1, 2, … , n2 сначала строится вспомогательный квадрат, клетки которого затем переставляются так, чтобы получился магический квадрат. Наиболее простым и общим из этих методов является метод Раусс-Болла.

Построение магического квадрата порядка n=2m начинается с того, что основной квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке.

Построение магического квадрата четного порядка в случае четного m (четно-четные квадраты)

1) Заполним квадрат числами от 1 до n2 слева направо и сверху вниз в порядке возрастания.

2) Разделим квадрат осями симметрии на 4 малых квадрата.

3) В левом верхнем квадрате выделим в каждой строке и каждом столбце n/4 клеток и отметим их каким-нибудь знаком (например, *).

4) Для каждой из отмеченных клеток найдем в основном квадрате клетки, симметричные ей относительно центра и обеим осям, и отметим эти клетки тем же знаком.

5) Поменяем местами отмеченные центрально-симметричные клетки.

Получившийся квадрат является магическим.

Проиллюстрируем метод на примерах.

1. Пусть n = 4.

В малых квадратах можно отметить клетки двумя способами:

*

*

*

*

Соответственно, мы получаем два способа отметить клетки основного квадрата:

1*

2

3

4*

1

2*

3*

4

5

6*

7*

8

5*

6

7

8*

9

10*

11*

12

9*

10

11

12*

13*

14

15

16*

13

14*

15*

16

Переставляя отмеченные центрально-симметричные клетки, мы получаем следующие магические квадраты:

16

2

3

13

1

15

14

4

5

11

10

8

12

6

7

9

9

7

6

12

8

10

11

5

4

14

15

1

13

3

2

16

2. Пусть n = 8.

В каждом горизонтальном и вертикальном ряду отметим по n/4 клеток, то есть по 2, например, таким способом:

*

*

*

*

*

*

*

*

В заполненном числами от 1 до 64 квадрате расставляем звездочки данным способом:

Произведя замену центрально-симметричных клеток, отмеченных звездочками, получим магический квадрат:

1

63

62

4

5

59

58

8

9

10

54

53

52

51

15

16

48

18

19

45

44

22

23

41

40

39

27

28

29

30

34

33

32

31

35

36

37

38

26

25

24

42

43

21

20

46

47

17

49

50

14

13

12

11

55

56

57

7

6

60

61

3

2

64

Построение магического квадрата четного порядка в случае нечетного m(четно-нечетные квадраты).

1) Заполним квадрат числами от 1 до n2 слева направо и сверху вниз в порядке возрастания.

2) Разделим квадрат осями симметрии на 4 малых квадрата.

4) Для каждой из отмеченных (*) клеток найдем в основном квадрате клетки, симметричные ей относительно центра и обеим осям, и отметим эти клетки тем же знаком *.

5) В левом верхнем квадрате выделим в каждой строке и каждом столбце по одной неотмеченной ранее клетке и отметим их знаком +.

6) Для каждой из отмеченных (+) клеток найдем в основном квадрате клетки, симметричные ей относительно горизонтальной оси, и отметим эти клетки тем же знаком +.

7) В левом верхнем квадрате выделим в каждой строке и каждом столбце по одной неотмеченной ранее клетке и отметим их знаком #.

8) Для каждой из отмеченных (#) клеток найдем в основном квадрате клетки, симметричные ей вертикальной оси, и отметим эти клетки тем же знаком #.

5) Поменять местами

– отмеченные знаком * центрально-симметричные клетки;

– отмеченные знаком + клетки, симметричные относительно горизонтальной оси;

– отмеченные знаком # клетки, симметричные относительно вертикальной оси.

Получившийся квадрат является магическим.

Проиллюстрируем метод на примере.

Пусть n=6. Тогда клеток первой группы в каждой строке и каждом столбце малого квадрата будет (n-2)/4, то есть 1 (это будут диагональные клетки). Из оставшихся клеток выбираем по одной клетке в каждом горизонтальном и вертикальном ряду для второй и третьей групп клеток. Отмечаем клетки разных групп разными знаками.

Получилось, что все клетки малого квадрата оказались отмеченными, но такое возможно только для квадрата шестого порядка. Для квадратов же большего порядка свободных клеток останется

(n2–7n + 6)/4.

Существует всего два способа разбиения малых квадратов в случае, когда n=6:

*

+

#

*

#

+

#

*

+

+

*

#

+

#

*

#

+

*

Размечаем теперь основной квадрат двумя способами:

Теперь, переставляя в квадратах

– центрально-симметричные клетки, отмеченные знаком *,

– симметричные относительно горизонтальной оси клетки, отмеченные знаком +,

– симметричные относительно вертикальной оси клетки, отмеченные знаком #,

получим магические квадраты:

36

32

4

3

5

31

36

5

33

4

2

31

12

29

27

10

26

7

25

29

10

9

26

12

19

17

22

21

14

18

18

20

22

21

17

13

13

20

16

15

23

24

19

14

16

15

23

24

25

11

9

28

8

30

7

11

27

28

8

30

6

2

33

34

35

1

6

32

3

34

45

1

Итак, существует 3 типа магических квадратов:

1. Квадрат с нечетным порядком;

2. Квадрат, порядок которого делится на 4;

3. Квадрат, порядок которого делится на 2, но не делится на 4.

Соответственно, существует 3 разных алгоритмических метода построения магических квадратов.

В приложенном архиве расположена обучающая презентация по магическим квадратам. На последнем слайде презентации находятся ссылки на мини-программы (находящиеся в этом же архиве), при помощи которых можно построить магический квадрат от 3 до 10 порядка с последующей программной проверкой на «магичность».

Секрет игры «Магический квадрат»

Уверена, вы где-то слышали такое словосочетание, как «магический квадрат». Нам известны несколько представителей этого «племени». Самый распространённый и часто встречающийся в интернете – это так называемая игра «Магический квадрат». Суть её заключается в том, что вашему вниманию предлагается таблица (это и есть «магический квадрат»), которая способна «угадывать мысли». Естественно, что, как и у любой игры, у нее есть определённые правила. Необходимо задумать любое двузначное число, а затем вычесть из него сумму, состоящую из цифр этого числа. Отыскать полученное значение в таблице вместе с символом, ему соответствующим. И как раз этот символ и отгадывает квадрат. Игра забавная и, на первый взгляд, действительно магическая, потому что какое бы число вы не загадывали первоначально – квадрат всегда угадывает символ. Как это получается? Как работает «магический квадрат»? На самом деле ответ лежит на поверхности. Если проверять квадрат несколько раз подряд, то можно заметить, что все время выпадает один и тот же символ. При более внимательном рассмотрении таблицы видно, что этот символ расположен по горизонтали и ему соответствуют цифры, без остатка делящиеся на 9. Впрочем, только они и получаются в вашем ответе, какое бы двузначное число вы не выбрали. Можно сказать, что мы разоблачили «магический квадрат». Секрет заключается не столько в нем, сколько в условиях игры. Дело в том, что есть такая неоспоримая истина, которая гласит: «Если из любого двузначного числа вычесть сумму его цифр, получится число, без остатка делящееся на 9». Вот мы и выяснили, как работает «магический квадрат». Ни грамма мистики! Хотя в принципе, все, что связанно с цифрами, основано на вычислениях и закономерностях, а никак не на волшебстве.

Секрет магического квадрата:

7 t 41 k 86 h 21 n 33 w 1 p 35 r 61 p 12 w 90 a
15 h 23 z 57 v 55 q 71 d 66 h 78 g 14 q 81 a 10 t
88 d 59 j 74 n 69 b 68 m 38 i 22 m 72 a 3 v 58 m
62 l 77 m 40 c 98 u 20 s 94 m 63 a 87 t 99 m 37 x
92 s 96 g 51 f 73 e 46 i 54 a 53 s 44 h 43 k 2 d
34 o 31 e 91 t 19 i 45 a 50 k 85 v 28 s 38 l 75 v
79 h 8 c 11 s 36 a 16 f 24 z 4 q 67 m 6 f 48 o
17 p 65 w 27 a 42 p 89 e 39 s 95 x 32 f 25 d 26 h
29 c 18 a 82 k 60 o 93 r 83 y 52 k 56 p 53 i 30 y
9 a 80 q 47 d 84 l 5 g 13 x 70 d 49 g 76 c 64 e

Магический квадрат Альбрехта Дюрера

Иногда цифровые закономерности приобретают такие невероятные масштабы, что, кажется, без колдовства здесь не обошлось. Так, например, известен ещё один «магический квадрат» — Альбрехта Дюрера. В математике под ним понимают квадратную таблицу с одинаковым количеством строк и столбцов, заполненную натуральными числами. Причём, сумма этих чисел по горизонтали, вертикали или диагонали должна равняться одному и тому же результату. Магический квадрат пришёл к нам из Китая, сегодня мы все знаем его яркого представителя – кроссворд «Судоку». В Европе первым «волшебную» фигуру изобразил именно Дюрер на своей гравюре «Меланхолия». В чем же уникальность этого «магического квадрата»? В своём основании он имеет сочетание цифр 15 и 14, что соответствует году издания гравюры. А сумма цифр складывается не только из строк по диагонали, вертикали и горизонтали, но и из цифр, стоящих по углам квадрата, в центральном маленьком квадрате и в каждом из четырёхклеточных квадратов по его сторонам. Эти фигуры не предсказывают судьбу и не угадывают мысли, они уникальны именно своими закономерностями.

Квадрат Пифагора

Если же обратиться к гаданиям, то и здесь есть свой представитель – «магический квадрат» Пифагора. Всем нам известно такое имя из уроков геометрии. Но только в наше время этого человека начали называть математиком и философом. В древности же он был известен как учитель мудрости, о нем слагались стихи и пелись оды, ему поклонялись, считали провидцем. Пифагор основал новую науку – нумерологию, в прежние времена она воспринималась как религия.

Он считал, что цифры могут объяснить практически каждое явление, в том числе и определить судьбу человека, рассказать о его характере, талантах и слабостях. Это можно было сделать при помощи квадрата Пифагора. Как работает «магический квадрат» и что из себя представляет? Магический квадрат Пифагора — это квадрат 3/3 (строки, столбцы), в который внесены цифры от 1 до 9. За основу предсказания берётся дата рождения человека. Важно, что «0» в расчётах не фигурирует. С помощью нехитрых вычислений и формул получается набор цифр, который впоследствии необходимо вписать в квадрат. Каждое число имеет своё значение и отвечает за определённое свойство. Так, 4 «отвечает» за здоровье, а 9 – за ум. В зависимости от того, сколько раз в вашем квадрате встречается одна и та же цифра, можно сказать о преобладании того или иного свойства. Так, например, отсутствие 4 – показатель физической слабости и болезненности, а 444 – богатырское здоровье и жизнерадостность. Насколько правдив квадрат Пифагора, сложно сказать, как, впрочем, и любое гадание. Зато теперь, зная, как работает магический квадрат, вы, как минимум, сможете приятно скоротать часок-другой, рассчитывая характеры своих друзей и знакомых.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *