Координатная система

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание

Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если -3, то соответственное расстояние 3. Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на Ox, равна действительному числу xM . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении Ox и Оу. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число xM называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки Mx на Ох, а как проекцию точки My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, где послучим соответственные точки пересечения Mx и My .

Тогда точка Mx на оси Ох имеет соответствующее число xM , а My на Оу — yM. На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (xM, yM), называемую ее координатами. Абсцисса M – это xM , ордината M – это yM .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (xM, yM) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются Mx, My, Mz, являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz. Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения xM, yM, zM. Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM) , которые имеют название координаты точки M, , xM, yM, zM- это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке А пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости.
Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через А1, А2 и А3.
Точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки А (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОА1, если А1 точка положительной полуоси: х = — ОА1, если А1 точка отрицательной полуоси: х = 0, если А1 совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки А2 определяется вторая координата (ордината) y точки А, а с помощью точки А3 третья координата (аппликата) z точки А. Координаты точки А записываются в скобках после обозначения точки: А (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату.
Если точка А (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.
Примеры решения заданий
Пример 1.
Пример 2.
Решение.
Задания по теме: «Прямоугольная система координат в пространстве»
Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю
Задание № 2

Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю
Задание № 3
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора

Введение

В классе мы с вами обсуждали прямоугольную систему координат. Тогда речь шла о плоскости: у нас были две перпендикулярные оси, и каждую точку плоскости мы задавали с помощью так называемых координат, то есть величин, которые требовалось «пройти» до данной точки от начала координат. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Система координат на плоскости

С помощью координат было удобно решать разные задачи, но мы применяем их и в жизни. Например, в кинотеатре мы ищем свое кресло сначала по ряду, а затем по номеру в ряду. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Место в кинотеатре – модель координатной плоскости

Но мы живем не в двухмерном пространстве, а в трехмерном. Поэтому имеет смысл поговорить об аналоге уже привычной нам системы координат, перенеся ее в пространство.

Рассмотрим такую ситуацию. Предположим, что мы пошли не в кино, а на балет. У нас есть билет, на котором написаны ряд и место. Можем ли мы легко найти свое кресло? Да, если речь о партере. Но ведь мы можем сидеть и выше: в амфитеатре или на любом из ярусов. Поэтому в данном случае мы прибегаем к трем измерениям: сначала по высоте (ярус, амфитеатр или партер), затем уже ряд, а затем место. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Расположение мест в театре как пример трехмерной системы координат

Мы пользуемся координатами и тогда, когда выбираем товары в гипермаркете самообслуживания. Например, мы хотим купить стол и нам дается инструкция, что он находится в ряду, на полке снизу, место номер . Мы сначала ищем ряд (первая координата), затем – место (вторая), потом – полку (третья). Можно, разумеется, сначала найти полку, а потом место. Так или иначе, речь идет о трех координатах.

Прямоугольная система координат в пространстве

Рассмотрим произвольную точку пространства. Проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые. На каждой из них обозначим направление. Это и будут оси координат – теперь их стало три. Обратите внимание, что ось направлена к нам, ось вправо, а – вверх. Порядок здесь важен, так как такие направления образуют так называемую правую тройку. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Оси координат трехмерного пространства

Эту картинку можно поворачивать так, как нам удобно. Например, если мы ее повернем на против часовой стрелки в плоскости , то получим следующую картинку: вправо, – вглубь, – вверх. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Поворот «тройки» на против часовой стрелки в плоскости

Все это допустимые картинки, выбирайте любую из них. Некоторым удобна последняя, ведь она получается естественным образом из плоскостной. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. К системе координат на плоскости добавили ось

Ветка. Правая и левая тройки

Рассмотрим тройку векторов , , , отложенных от одной точки . Эта тройка векторов называется правой, если векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. В противном случае тройка называется левой.

На рисунке (См. Рис. 7.) справа изображена правая тройка векторов, а слева – левая. Это также полностью соответствует правилам правой и левой руки из физики.

Рис. 7. Левая и правая тройки

Координаты точки в пространстве

Оси обозначаются (ось абсцисс), (ось ординат) и (ось аппликат). (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Названия координатных осей

Соответствующие плоскости – , , – координатные плоскости. (См. Рис. 9.) Как и на плоскости, у каждой оси в пространстве есть положительное направление и отрицательное.

Рис. 9. Координатные плоскости

Координаты точки в пространстве определяются аналогично плоскостным. Рассмотрим произвольную точку и проведем через нее плоскости, параллельные координатным. Эти плоскости пересекут наши оси в точках (точка пересечения параллельной плоскости с осью ), (точка пересечения параллельной плоскости с осью ) и (точка пересечения параллельной плоскости с осью ). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Точки пересечения параллельных плоскостей с осями координат

Тогда абсцисса точки – это (в случае если лежит на положительной полуоси) и , если – на отрицательной. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Абсцисса точки в зависимости от расположения точки

Аналогично определяются ордината и аппликата. Записывают координаты в круглых скобках через точку с запятой: , где , , (либо , , – в зависимости от расположения на осях координат). Не пишите координаты точки через запятую, чтобы не спутать с десятичными дробями.

У точки могут быть и нулевые координаты, если она лежит в координатной плоскости. Например, если взять точку в плоскости , то ее координаты имеют вид . А точка на оси имеет координаты . Начало же координат – точка – имеет координаты . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Точки с нулевыми координатами

Координаты вектора в пространстве

Как и на плоскости, отложим на каждой оси от начала координат в положительном направлении по вектору, длины которых будут равны . Эти векторы называют единичными, или ортами. Обозначают их соответственно , , (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Орты , ,

Эти векторы не компланарны, то есть не лежат в одной плоскости, а значит, каждый вектор пространства можно единственным образом разложить по векторам , , : . Такие коэффициенты ; ; называют координатами вектора и пишут: – в фигурных скобках. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Координаты вектора через орты

Так, например, вектор .

На этом уроке мы познакомились с понятием «система координат в пространстве» и выяснили, как задаются координаты точки и координаты вектора.

Список литературы

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

Что такое система координат по физике

Какова амплитуда суммарной волны, приходящей от одной щели в производную точку экрана? 1.Определить эквалентное сопротивление цепи2.определить токи в ветвях, используя закон Ома3 определить мощность, развиваемую источником энергии и мощн ость потребителей 4.проверить баланс мощностейДано:E,B 60R1,Ом 6R2,Ом 11R3,Ом 7R4,Ом 12R5,Ом 8R6,Ом 13​ Помогите с кроссвордом по физике. По горизонтали: 1.Действие тел друг на друга. 2. Частица, входящая в состав молекулы. 3. Естественный спутник Земл и. 4. Произведение силы на плечо. 5. Летательный аппарат. 6. Летательный аппарат легче воздуха. 7. Тонкие трубочки разного рода. 8. Красная планета. 9. Причина ускоренного движения любого тела. 10. Другое общеизвестное имя ученого Абу Али ибн-Сина. По вертикали: 1.Подставка для проведения химических и физических опытов. 2. Взаимодействие двух соприкасающихся поверхностей. 3. Прибор для определения плотности жидкости. 4. Лабораторный прибор для определения объема жидкости. 5. Планета Солнечной системы. 6. Единица измерения работы и энергии. 7. Французский ученый, установивший один из гидростатических законов. 8. Великий итальянский ученый 16 века. 9. Третья планета Солнечной системы. 10. Устройство для откачки воды из-под Земли. 11. Физическая величина, измеряемая в килограммах. 12. Вещество для заправки стержней в авторучках. Точечный источник света освещает непрозрачный диск радиусом 62 мм. Расстояние от источника до диска в 4,7 раз(-а) меньше, чем расстояние от диска до э крана, на котором наблюдатель видит тень. Чему равен диаметр от тени диска, и во сколько раз площадь тени больше площади диска? Какую работу надо совершить, чтобы поднять груз массой 150г на высоту 30см при помощи наклонной плоскости длиной 50см? Пучок света (диаметр d=9 см) параллельный главной оптической оси падает на рассеивающую линзу. Определи, на каком расстоянии от линзы площадь световог о пятна, полученного на экране, будет равна S=255 см². Фокусное расстояние F=24 смОтвет округли до целого числа​ Электрон, обладающий энергией 1000 эВ, влетает в однородное электрическое поле E= 800 В/см, перпендикулярно силовым линиям поля. Каковы должны направл ение и величина магнитного поля B, чтобы электрон не испытывал отклонений? Построить траекторию движения электрона. Всего 1 задание сделайте пжлст ) 1. Постройте в тетради изображение предмета в собирающей линзе, находящегося на расстоянии 2F, 2F>d>F, d При переходе электрона в атоме из стационар¬ного состояния с энергией – 4,8 эВ излучается фотон, энер¬гия которого равна 3,1 эВ. Определите энергию ко нечного состояния электрона.​ Помогите с физикой, нужны варианты под номером 5 на фотографиях. 100баллов

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *