Конус (геометрическая фигура)

Конус (геометрическая фигура) Прямой круговой конус

Ко́нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой.

‘== Связанные определения ==

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где— угол раствора конуса (то есть удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

где— радиус основания,— длина образующей.

• Объем кругового конуса равен

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Обобщения

В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого

См. также

• Коническая поверхность
• Коническое сечение
• Конус (топология)

Конспект комплексного занятия «Конус и все, что с ним связано»

Марина Симакина
Конспект комплексного занятия «Конус и все, что с ним связано»

Образовательная область:

Возраст: 5-6 лет

Формы непосредственной образовательной деятельности: решение проблемных ситуаций, игры с правилами, игровые упражнения.

Цель:

1) Сформировать представление о конусе и некоторых его свойствах, умение распознавать конус в предметах окружающей обстановки и среди других фигур;

2) Сформировать опыт самостоятельного преодоления затруднения под руководством воспитателя;

3) Закрепить умение выделять и называть свойства предметов, представления об изученных геометрических фигурах, умение соотносить плоские геометрические фигуры с пространственными телами;

4) Тренировать мыслительные операции анализ, синтез, сравнение и обобщение, развивать внимание, память, речь, воображение, логическое мышление, творческие способности.

Материалы к занятию:

Демонстрационный: муфта с фигурами, предметные картинки.

Раздаточный: листы бумаги, трафареты, карандаши.

Ход непосредственно образовательной деятельности:

1. Введение в игровую ситуацию.

Дидактические задачи: мотивировать детей на включение в игровую деятельность.

Дети собираются около воспитателя. Воспитатель спрашивает детей, какие игры они любят больше всего, и предлагает им поиграть в новую игру — «Отгадай, кто я?».

2. Актуализация знаний.

2.1. Игра «Отгадай, кто я?».

Дидактические задачи:

1) Актуализировать представление о свойствах объектов, о причинно-следственных связях между объектами и их свойствами и об использовании свойств объектов для их распознавания;

2) тренировать мыслительные операции анализ, синтез, развивать память, речь, воображение, логическое мышление.

Воспитатель закрывает глаза, к нему молча, подходит кто-либо из детей. Воспитатель, ощупывая ребенка, проводит рассуждения. Например, если есть косички, значит, это девочка. Косички в нашей группе у Маши и Кати. На девочке надет сарафан. В сарафане сегодня пришла Маша, значит, девочка, стоящая передо мной, — Маша.

Дети выражают желание быть водящими.

Воспитатель предлагает им поиграть в эту игру с детьми детского сада, который находится в стране геометрических фигур.

2.2 Игра «Необычный детский сад» (начало).

Дидактические задачи:

1) Актуализировать представления детей об изученных геометрических телах, умение выявлять геометрические формы в предметах окружающего мира, закрепить счетные умения;

2) тренировать мыслительные операции анализ, синтез, развивать тактильную память, речь, воображение, логическое мышление.

Дети подходят к столу, на котором находится муфта с геометрическими телами – шаром, кубом, цилиндром и т. д. по количеству детей. Также в муфте есть один конус.

Дети должны двумя руками ощупать фигуру, которая им известна, и описать ее,например:

— То, что я взял, — круглое, гладкое, может катиться. Это шар.

Каждый ребенок описывает, называет, а затем вынимает одну фигуру, после чего идет к другому столу и выбирает из лежащих на нем картинок ту, которая по форме напоминает вынутую фигуру.Картинки могут быть такими: мяч, яблоко, коробка из-под торта, телевизор, цилиндрический бокал и т. п.

Дети кладут и ставят вынутые ими фигуры на стол. Рядом с фигурой кладут выбранную картинку.

3. Затруднение в игровой ситуации.

3.1. Игра «Необычный детский сад» (продолжение)

Дидактические задачи:

1) создать мотивационную ситуацию для формирования представлений о конусе;

2) сформировать опыт под руководством воспитателя фиксации затруднения и понимания его причины;

3) тренировать мыслительные операции анализ и сравнение, развивать речь, воображение, логическое мышление.

В муфте остается конус – неизвестная детям фигура. Возникает затруднение.

Дети по очереди ощупывают конус, пытаются его описать, но никто не может назвать.

— Смогли вы назвать новую фигуру? (Нет)

— Почему? (мы ее не знаем).

4. Открытие нового знания.

4.1. Игра «Необычный детский сад» (окончание).

Дидактические задачи:

1) сформировать представление о конусе и его свойствах, умение называть конус, распознавать форму конуса в предметах окружающей обстановки;

2) Сформировать опыт самостоятельного открытия и эмоционального переживания радости открытия;

3) тренировать мыслительные операции анализ, сравнение и обобщение, развивать речь, логическое мышление, инициативность, творческие способности.

Воспитатель говорит детям, что это похоже на то, как если в их группу пришел незнакомый мальчик и стал играть в игру «Отгадай, кто я?».

— Смогли бы вы угадать незнакомого мальчика? (Нет, так как он нам незнаком).

— Что же нам надо вначале сделать? (Познакомиться).

Воспитатель достает конус из муфты. Дети спрашивают как его зовут, и воспитатель сообщает имя этой фигуры – КОНУС. Дети хором произносят новое слово.

Воспитатель показывает конусс разных сторон и просит детей описать новую фигуру:

— Опишите конус. На что он похож? (На колпачок, на морковку и т. д.).

Можно показать детям молодую шишку сосны и рассказать о том, что «конус» в переводе означает «шишка».

Затем воспитатель помогает детям сравнить конус с цилиндром – чем они похожи и чем отличаются, старается вовлечь в обсуждение всех детей. Дети должны заметить, что и конус, и цилиндр стоят на круге, но у конуса круг один, а у цилиндра – два; цилиндр катится прямо, а конус – вокруг своей вершины и т. д.

В завершении воспитатель хвалит детей и говорит, что теперь никто не ошибется в игре «Отгадай, кто я?».

5. Включение нового знания в систему знаний.

5.1. Игра «Найди похожие предметы».

Дидактические задачи:

закрепить умение видеть конусообразную форму в предметах окружающего мира,тренировать мыслительные операции анализ и сравнение, развивать внимание, речь.

Воспитатель рассказывает, что конус загрустил потому, что в группе нет никого, кто был бы на него похож.

Он предлагает детям подойти к фланелеграфу, на котором находятся карточки с изображением предметов различной формы (можно использовать не рисунки, а предметы). Дети должны взять, принести и положить рядом с конусом по одной карточке (одному предмету, которые имеют конусообразную форму.

В завершении конус благодарит детей.

wiki.eduVdom.com

Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус является телом вращения.

Конус

Рис.1

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.

Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.

Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.

Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.

Круговой конус — конус, у которого в основании круг.

Прямой круговой конус (просто конус) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.

Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.

Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.

Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. См.Рис.2.

Рис.2

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3.

Усечённый конус

Рис.3

Формулы для усечённого конуса (См.Рис.4): $$ S_{бок}=\pi\cdot l\cdot (R+r) \\ S_{полн}=S_{бок}+\pi(R^2+r^2) \\ V=\frac{1}{3}\pi\cdot h(R^2+R\cdot r+r^2) $$

Усечённый конус

Рис.4

Пример 1. Высота конуса равна 4 , а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

Видео-решение.

← Цилиндр	Стереометрия ( Справочник )	Сфера (Шар) →
Рекомендуем для обучения:
Геометрия ( Справочник )