Как строить график?

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Теория

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций

Теория

Конспект урока

График линейной функции и метод его построения

Начнем с построения графиков основных функций.

1) Линейная функция. Ее графиком является прямая.

Общий вид линейной функции:

где под и понимают следующие параметры:

угловой коэффициент;

свободный член или смещение по оси ординат.

Рассмотрим основные формы таких графиков в зависимости от значений параметров и поймем их названия.

показывает координату пересечения прямой с осью ординат;

прямая проходит через начало координат;

угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс острый;

угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс тупой;

прямая параллельна оси абсцисс.

Как видим, параметр «» определяет наклон прямой к оси абсцисс.

Метод построения графика линейной функции самый стандартный, и называется «построение по точкам». Поскольку любая прямая может быть однозначно восстановлена по двум точкам, то нам будет достаточно определить координаты двух точек, удовлетворяющих функции, и затем провести через них прямую линию, которая и будет необходимым графиком.

Обычно для этого используется небольшая табличка, в которую записывают произвольно выбранные координаты точек по оси абсцисс, а затем для них вычисляют координаты точек по оси ординат.

Пример. Проделаем эти действия для функции .

Решение.

Для вычисления необходимых игреков подставляем значения иксов в формулу, которая задает функцию. При этом удобно выбирать минимальные по модулю целые значения иксов для простоты расчетов:

После этого точки наносятся на координатную плоскость, и через них проводится прямая линия, которая и будет графиком.

Обратите внимание, что форма графика соответствует знакам коэффициентов функции.

График квадратичной функции и метод его построения

2) Теперь рассмотрим квадратичную функцию и ее график, который принято называть параболой.

Общий вид квадратичной функции:

Где под параметрами понимают:

старший коэффициент;

второй коэффициент;

свободный член.

От знаков этих параметров зависит расположение параболы:

ветки параболы направлены вверх;

ветки параболы направлены вниз;

Знаки коэффициента явно и наглядно ничего не определяют;

показывает координату пересечения параболы с осью ординат.

Уже можно было обратить внимание, что в графиках функций, которые представлены в виде многочленов, свободный коэффициент показывает точку пересечения с осью ординат. А в общем случае такой точкой является значение функции при подстановке аргумента, равного нулю.

Для ознакомления с изображением параболы построение следует начать с простейшего частного случая рассматриваемой функции .

Для построения параболы по общему виду функции есть несколько стандартных приемов, укажем один наиболее простой и удобный из них.

Метод построения «по вершине».

В этом способе сначала находят координаты вершины, а затем в зависимости от знака старшего коэффициента строят эскиз графика.

Координаты вершины находят по следующим формулам:

Как видим, для вычисления значения игрековой координаты вершины выполняется подстановка в функцию найденного значения иксовой координаты вершины.

После этого вершина обозначается в системе координат и с учетом известного нам направления веток параболы в зависимости от знака старшего коэффициента функции изображается эскиз графика.

Пример. Построить график функции .

Решение. Воспользуемся указанными формулами для .

, .

Учтем, что , т.е. ветки параболы направлены вверх. Для точности нанесем точку пересечения с осью : .

Чтобы увеличить точность построения графика, можно найти и точки его пересечения с осью . Решим для этого уравнение , как мы уже знаем, приравняв функцию к нулю. Но мы не будем делать этого в примере, если вам интересно, то можете проделать это действие самостоятельно и решить квадратное уравнение.

График дробно-рациональной функции и метод его построения

3) Перейдем к простейшему виду дробно-рациональной функции, графиком которой является гипербола.

Общий вид такой функции , т.е. в числителе и знаменателе дроби находятся линейные двучлены.

У указанных параметров нет общепринятых названий.

Начнем знакомство с графиком, который называют гиперболой, с изображения простейшего частного случая дробно-рациональной функции, когда , т.е. . Он имеет вид:

Как видим, у графика есть вспомогательные элементы, которые называются «асимптоты». Их две: горизонтальная и вертикальная.

Вспомним, что вертикальная асимптота строится в координате по оси абсцисс, при которой знаменатель дроби превращается в ноль.

Горизонтальная асимптота проводится в том значении координаты по оси ординат, к которому стремится функция при аргументе, стремящемся к бесконечности. Для функций указанного типа горизонтальную асимптоту можно найти и проще, значением ее игрековой координаты будет отношение коэффициента при иксе в числителе и в знаменателе. Разобраться почему так вы можете изучив тему «Предел функции».

Пример. Построим график дробно-рациональной функции общего положения .

Способ построения мы назовем «по асимптотам» и он будет состоять из трех шагов:

1. Находим уравнение вертикальной асимптоты: ;

2. Находим уравнение горизонтальной асимптоты: . Можно так же воспользоваться способом приведения числителя к константе, который мы показали в предыдущем уроке.

3. Расположение веток гиперболы неоднозначно: или справа вверху и слева внизу, например, в простейшем случае

или слева вверху и справа внизу, например,

Поэтому необходимо точно определить, как они будут изображаться. Для этого просто подставим любое целое значение икса в функцию из области определения и найдем одну точку, которая принадлежит графику.

Подставим, например, и построим ее в системе координат с найденными асимптотами.

Ветки гиперболы должны прижиматься к асимптотам и по расположению построенной точки мы определяем положение одной из веток гиперболы, а соответственно и другой, т.к. ветки всегда лежат наискось относительно друг друга, если к графику не применялись специальные преобразования.

Графики основных функций, для которых не выделяют отдельных методов построения

Теперь менее подробно перечислим графики основных функций, для которых не выделяют отдельных методов построения. Также вспомним графики тех функций, которые мы недавно изучали.

4) График неизвестной в четной степени, где выглядит, как график простейшей параболы :

А график неизвестной в нечетной степени, где , например, , выглядит, как так называемая кубическая парабола:

5) График корня четной степени, где , например, , имеет следующий вид:

6) График корня нечетной степени, где , например, , имеет следующий вид:

Точное построение таких графиков выполняется с подстановкой контрольных точек.

7) График модуля неизвестной выглядит следующим образом:

Еще его иногда называют «птичкой».

8) Графики показательной функции делятся на два типа в зависимости от значения основания степени.

Вспомним, что случаи с отрицательным основанием степени и равным единице не рассматриваются.

9) Графики логарифмической функции также делятся на два типа в зависимости от значения основания логарифма.

Для данной функции и , как и для показательной, не рассматриваются.

10) Вспомним графики четырех основных тригонометрических функций.

Вспомним об особом свойстве тригофункций – их периодичности.

Мы указали графики не всех функций, а только основные. Например, мы не повторили графики аркфункций из-за их редкости. Если хотите повторить их, то обратитесь к соответствующему уроку

Преобразования графиков функций

Теперь перейдем ко второй части урока, в которой познакомимся с основными видами преобразований графиков функций. Такие преобразования необходимы для умения строить сложные функции, которые преобразуются из простейших.

Первый тип преобразований мы рассмотрим на примере трех принципиально разных типов функций, чтобы стало понятно, что способы преобразований универсальны. Каждое из остальных преобразований мы продемонстрируем на примере какой-нибудь одной наиболее наглядной функции.

1) Изменение знака аргумента .

Правило. График функции симметрично отображается относительно оси .

2) Изменение знака функции.

Правило. График функции отображается симметрично относительно оси .

3) Добавление/вычитание числа из аргумента.

Правило. График функции сдвигается вдоль оси абсцисс при добавлении – влево, а при вычитании – вправо на число, которое равно «».

4) Добавление/вычитание числа из функции.

Правило. График функции сдвигается вдоль оси ординат при добавлении – вверх, а при вычитании – вниз на число, которое равно «».

5) Умножение/деление аргумента на число или .

Правило. График функции при умножении сжимается, а при делении растягивается вдоль оси абсцисс в «» раз в направлении начала координат.

или

6) Умножение/деление функциина число или .

Правило. График функции при умножении растягивается, а при делении сжимается вдоль оси ординат в «» раз в направлении начала координат.

или

Мы рассмотрели основные виды преобразований графиков функций, которые на практическом занятии помогут нам построить множество графиков различных функций.

На этом уроке мы рассмотрели методы построения графиков основных типов простейших функций и указали виды их преобразований.

На практическом занятии мы разберем соответствующие примеры

Полезные ссылки:

3. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynaya-funktsiya-i-ee-grafik

5. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/funkciya-yx2/funktsiya-y-x-sup-2-sup-i-eyo-grafik

8. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/povtorenie-kursa-algebry-7go-klassa/lineynaya-funktsiya

17. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/povtorenie-kursa-algebry-8go-klassa/kvadratichnaya-funktsiya

18. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/povtorenie-kursa-algebry-8go-klassa/funktsiya-y-8730-x

20. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/funktsii-y-k-x-y-8730-x-y-x

41. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/periodichnost-funkcij-ysin-t-ycos-t

42. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funkciya-ytgx-ee-svojstva-i-grafik

43. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funktsiya-y-stgx-ee-svoystva-i-grafik

58. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya

60. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/drobno-lineynaya-funktsiya

61. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsii-3-y-i-4-y-stepeni

62. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsii-s-radikalami

63. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/lineynaya-funktsiya-2

64. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/kvadratichnaya-funktsiya-2

65. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/pokazatelnye-funktsii-uravneniya-neravenstva

66. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/pryamaya-i-obratnaya-funktsii

67. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-sin-t-i-chislo-arcsin-a

68. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-cos-t-chislo-arccos-a

69. http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/povtorenie/funktsiya-y-tg-t-chislo-arctg-a

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций. Практика

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 13. Построение и преобразование графиков функций. Обзор графиков основных функций

Практика

Конспект урока

Построение графиков основных функций

Сначала разберем примеры на построение графиков основных функций.

Задача №1. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а)

Как видим, и угол наклона к оси острый, смещение по оси .

б)

и можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в)

угол наклона к оси острый, график проходит через начало координат.

г)

константная функция, прямая проходит через точку и параллельно оси .

Задача №2. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся методом построения квадратичных функций «по вершине».

а)

ветки параболы направлены вверх, .

Если возникает вопрос, как точно строится парабола, т.е. с какой именно скоростью растут и убывают ее ветки, то можно запомнить следующий факт: если старший коэффициент или , как это часто бывает, то при смещении от иксовой координаты вершины на единицу влево или вправо значение функции сначала изменяется на 1, потом на 3, затем на 5 и т.д., т.е. на нечетные числа.

Например, в нашем графике:

Для функций, у которых старший коэффициент , значения изменений функции умножаются на это «». Например, построение функции выглядит так:

Но, как правило такая точность построения не важна, а нужен только эскиз графика, поэтому в дальнейшем мы не будем это учитывать.

б)

ветки параболы направлены вверх, .

в)

ветки параболы направлены вниз, .

Кстати, график проходит через ноль, что легко проверить подстановкой в функцию точки или обратив внимание на то, что .

Задача №3. Построить графики функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Воспользуемся нашим методом построения дробно-рациональных функций «по асимптотам».

а)

Вертикальная асимптота определяется решением уравнения, которое показывает, что знаменатель дроби равен нулю: .

Горизонтальную асимптоту определим по тому быстрому способу, который мы указали в лекции. Она определяется отношением коэффициентов при иксах в числителе и знаменателе: .

Для определения расположения веток гиперболы подставим в функцию любую точку из области определения, т.е. кроме, например, : , т.е. координаты этой точки через нее и проведем одну ветку гиперболы, вторая будет располагаться наискось.

Теперь строим гиперболу, прижимая ее к асимптотам:

Остальные пункты строим аналогично.

б)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: , т.е. асимптотами являются оси координат.

Проверочная точка: .

в)

Вертикальная асимптота: .

Горизонтальная асимптота: .

Проверочная точка: .

Задача №4. Построить графики функций: а) , б) , в) .

Решение. По сути дела, указаны функции, которые не имеют особых методов построения их графиков. Поэтому если необходимо изобразить их эскиз, то просто вспоминаем теорию, а если необходимо построить графики более точно, то следует подставить несколько контрольных точек, так и поступим.

а)

Подставим полные квадраты, чтобы вычислить из них целые значения корня.

б)

Подставим несколько значений и учтем общий вид графика.

Т.к. основание степени , то функция растет.

в)

Подставим такие значения аргумента, при которых значения логарифма будут целыми. При построении учтем общий вид графика.

Т.к. основание логарифма , то функция убывает.

Исследование функции по изображенному графику

Теперь давайте попробуем научиться решать обратную задачу – по изображенному графику исследовать функцию.

Задача №5. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

г)

Решение. Для определения знаков коэффициентов и вспомним, как от них зависят формы графиков.

а) Острый угол наклона прямой к оси (функция возрастает) – это . Точка пересечения с осью — это .

Далее аналогичные рассуждения.

б)

в)

г) Константная функция, т.к. график параллелен оси , т.е. , а .

Задача №6. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции :

а)

б)

в)

Решение. Вспомним, как параметры и определяют положение параболы.

а) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины .

б) Ветви вверх, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, .

в) Ветви вниз, следовательно, .

Точка пересечения с осью .

Иксовая координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, .

Преобразование графиков функций

И теперь переходим к рассмотрению примеров на преобразование графиков функций.

Задача №7. Построить графики функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение. Когда сложная функция получена из простейшей путем нескольких преобразований, то преобразования графиков выполняются в порядке арифметических действий с аргументом, например, умножение идет до сложения и т.п.

а)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа .

Сдвигаем график вправо на 1:

в)

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках , затем сложение .

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

Конечно же, можно построить эту функцию как квадратичную после раскрывания скобок. Проверьте это самостоятельно.

г)

Преобразование в одно действие типа .

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида , и .

Для выполнения преобразований в порядке действий обратим внимание, что сначала будет выполняться умножение, затем сложение, а затем смена знака. Чтобы умножение применялось ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Построение графика линейной функции. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое линейная функция, и с чем ее едят.

Если ты считаешь себя профи по части линейных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Линейная функция».

Начнем с небольшой проверки:

Как выглядит линейная функция в общем виде (формула)?

Почему она называется линейной?

Как влияет коэффициент при на график линейной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, прочти тему «Линейная функция».

Итак, ты уже умеешь обращаться с линейной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам. Кстати, сколько нужно точек, чтобы построить график линейной функции?

Скажу сразу, эта тема настолько простая, что много нового ты здесь не выучишь. Но ты научишься не теряться во всяких нестандартных ситуациях.

Итак, дамы и господа, линейная функция: .

Построение графика линейной функции: ты берешь два каких-либо икса, (например, и ), подставляешь их в формулу, находишь соответствующие игреки.

Затем отмечаешь эти две точки на координатной плоскости, прикладываешь линейку, и график готов. Просто и быстро, и ничего выдумывать не надо.

Но бывает, что функция задана по-другому, например, неявно. Сейчас разберем, как быстро справляться с такими ситуациями.

Разберем пример:

Постройте график уравнения .

Ну а что тут сложного? Чтобы произвести построение графика линейной функции выражаем y и строим по точкам. Это да, но можно сделать проще и интересней.

Выясним, в какой точке эта прямая будет пересекать ось . Что характерно для этой точке? Правильно, . Так и пишем:

А теперь проделаем то же самое с другой осью: в какой точке график пересекает ось ?

Вот и они – две точки графика. Осталось только приложить линейку:

Согласись, это было быстро и просто?

А теперь сам:

Ладно, а как еще можно задать функцию?

Ну, например словесно:

Прямая проходит через точку , а ее угловой коэффициент равен .

Ну что же, вспоминаем: что такое угловой коэффициент?

Это, с одной стороны, коэффициент при , а с другой – это тангенс угла между прямой и осью . Вот это мы и используем когда делаем построение графика линейной функции: ставим точку , и рисуем прямоугольный треугольник так, что один его катет параллелен оси , а другой – перпендикулярен. При этом второй катет должен быть ровно в раз больше первого. Очень удобно в этом случае, чтобы первый катет был равен , тогда второй будет равен :

Теперь реши сам:

Прямая, уравнение которой имеет вид ( неизвестно), проходит через точку . Постройте ее.

Справился?

Должно получиться вот так:

Еще пример:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой . Строить график прямой нельзя.

О, это что-то новенькое. Про параллельность прямых мы еще не учили.

Но как обычно, все просто. Нарисуем несколько параллельных прямых на координатной плоскости:

Что у них общего? Вообще, какие параметры важны для графиков? Конечно же, коэффициенты и . И сразу становится ясно: раз отвечает за наклон, а наклон у них одинаковый (это же параллельные прямые, а ось – секущая), значит, у них одинаковый коэффициент !

Вернемся к задаче. Напомню условие:

Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой .

Итак, угловой коэффициент нашей прямой равен угловому коэффициенту прямой , то есть . Теперь задача становится точь в точь как мы решали до этого:

График пересекает ось ординат в точке . Это и есть коэффициент :

И снова пример для самостоятельного решения:
Произведи построение графика линейной функции и найди уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой . Строить график прямой нельзя.

Ответ: .

И еще один тип прямых. Самый простой из всех:

Хм… Даже на линейную функцию непохоже, чего это он самый простой?

А вот почему: достаточно небольшого преобразования, и получится самая обычная линейная функция:

Вот и все!

А, нет, не все… еще ведь ОДЗ: на ноль делить нельзя, бла бла бла…

Ладно, ничего сложного здесь нет: . Это и есть все отличие от обычной прямой : просто надо будет выколоть из графика одну точку: .

Теперь сам: .

Ответ:

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

График линейной функции – прямая линия. Прямую можно провести через две точки.

Чтобы построить график линейной функции вида , нужно:

  • вычислить координаты любых двух точек (взять любые два значения аргумента и вычислить соответствующие два значения
  • для каждой пары найти точку в системе координат, и провести прямую через эти две точки.

Пример для функции :

Проще всего найти функцию, если аргумент: .

Итак, первая точка имеет координаты .

Теперь возьмем любое другое число в качестве , например, .

Вторая точка имеет координаты .

Угловой коэффициент – это тангенс угла наклона прямой. Для его нахождения выберем две точки и на графике и построим прямоугольный треугольник с гипотенузой

.

Ну вот, ты увидел, как можно строить график любой линейной функции. Конечно, можно было бы придумать еще миллион «интересных случаев», но хватит терять время на эту халявную тему, пора уже перейти к более серьезным вещам.

Удачи!

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

.

Ккатрина 21 декабря 2017

можно не так

ответить

Александр (админ) 10 февраля 2019

Ккатрина, привет! Всегда можно не так. Очень хорошо, что ты знаешь это ) Расскажи здесь, если не трудно как ты бы это сдалала.

ответить

Нелли 09 мая 2019

Спасибо

ответить

Александр (админ) 09 мая 2019

Пожалуйста, Нелли. Удачи на экзаменах!

ответить

Мм 25 ноября 2019

Я учусь в 7 классе и т.к меня не было много дней я не мог самостоятельно понять тему по книге.

ответить

Александр (админ) 05 мая 2020

И какова дальше эта история, Мм? Вы разобрались с этой темой? С помощью нашего учебника?

ответить

ыпрчпатсап 05 мая 2020

ееееееееееееее пятёрка!!!!!!

ответить

Александр (админ) 05 мая 2020

Круть! Пятерка за контрольную? Или за что? Учебник-то наш помог? Или сами разобрались?

ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *