Как решать предел функции?

Решение пределов с дробями из многочленов

Здесь мы рассмотрим примеры и методы решения пределов функций, составленных из отношений многочленов. Это дроби из многочленов и разности дробей. Обзор и обоснование методов решения пределов изложены на странице «Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей».

Методы решения пределов дробей из многочленов

1.1. Пусть есть бесконечность:
.
Тогда возникает неопределенность вида . Для ее раскрытия, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на xs, где s – наибольшее из чисел m и n. Примеры ⇓

1.2. Пусть есть конечное число. Найдем значение знаменателя дроби, подставив :
.
1.2.1. Если , то неопределенности нет. Функция определена и непрерывна при . Значение предела равно значению функции в точке :
. Пример ⇓

1.2.2. Если знаменатель равен нулю, а числитель нет: ,
то неопределенность также отсутствует. Предел равен бесконечности:
. Пример ⇓

1.2.3. Пусть теперь и числитель, и знаменатель равны нулю:
.
В этом случае у нас возникает неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, делим числитель и знаменатель на . Деление можно выполнять либо уголком, либо в уме, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x. Примеры ⇓

2. Теперь рассмотрим пределы от суммы или разности отношений многочленов. В этом случае, может возникнуть неопределенность вида бесконечность плюс-минус бесконечность: . Для ее раскрытия, нужно привести дроби к общему знаменателю. В результате получим предел от функции вида (1), методы решения которого мы уже рассмотрели. Пример ⇓

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения пределов дробей из многочленов.
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓

Пределы при x стремящемся к бесконечности

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности:
.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
На основании свойств степенной функции, при . Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Ответ

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел функции, которая является отношением многочленов:
.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Ответ

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел:
.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применим арифметические свойства предела функции к числителю и знаменателю:
;
.
Применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
.

Выясним, имеет ли наш предел определенный знак? Для этого преобразуем знаменатель и переведем бесконечно большую часть в числитель:
;
.
Поскольку , то . Тогда
.

Ответ

Пределы в конечной точке

Пример 4. Непрерывные функции

Все примеры ⇑ Найти пределы функции
a) при ; б) при .

Решение

а) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то функция непрерывна в точке . Поэтому предел функции равен ее значению при :
.

б) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Здесь также знаменатель не обращается в нуль. Функция непрерывна. Ее предел при равен значению при :
.

Ответ

а) ; б) .

Пример 5. Бесконечно большие функции

Все примеры ⇑ Задана функция в виде отношения многочленов:
.
Найти односторонние пределы:
а) ; б) .

Решение

Найдем значение знаменателя дроби в точке :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной при . Выясним, есть ли неопределенность вида 0/0? Для этого найдем значение числителя в этой точке:
.
Числитель не равен нулю. Поэтому неопределенности вида 0/0 нет. Предел при равен бесконечности:
.

Но нам нужно найти односторонние пределы. Для этого выделим из многочлена в знаменателе множитель . То есть представим знаменатель в следующем виде:
.
Раскрываем скобки:
.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
;
.

Ответ

а) , б) .

Примечание.
Если бы знаменатель дроби не равнялся нулю при , то функция была бы непрерывной в точке . В этом случае, пределы слева и справа были бы равны:
.

Неопределенность вида 0/0

Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел
.

Решение

Найдем значение знаменателя дроби при :
.
Знаменатель дроби равен нулю. Поэтому функция не определена и, следовательно, не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя при :
.
Числитель дроби также равен нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Ищем разложение знаменателя в виде:
.
Раскрываем скобки и группируем члены с одинаковыми степенями x:
.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
.

На практике, нет необходимости выписывать неопределенные коэффициенты разложения, а затем решать систему уравнений. Подобные вычисления легко проводить в уме. Для числителя имеем:
.

Находим предел:
.

Ответ

Пример 7

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов:
.

Решение

Найдем значение знаменателя при :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя дроби при :
.
Числитель дроби также равен нулю. У нас неопределенность вида 0/0. Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Вычисления делаем в уме:
,
.
Делим числитель и знаменатель на . Тогда при имеем:
.

Снова находим значения числителя и знаменателя при : ;
.
Опять неопределенность 0/0. Снова выделяем множитель :
;
.

При имеем:
.
Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не равен нулю при . Поскольку функции и отличаются только в одной точке ( определена и непрерывна при , а не определена), то их пределы в любой точке равны (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). Находим искомый предел:
.

Ответ

Пример 8. Неопределенность вида ∞±∞

Все примеры ⇑ Найти предел разности дробей из многочленов:
.

Решение

При имеем:
;
;
;
.
Поскольку знаменатель каждой из дробей равен нулю, а числители отличны от нуля, то при , каждая из дробей стремится к бесконечности:
при .
То есть мы имеем неопределенность вида «бесконечность минус бесконечность».

Для раскрытия неопределенности, приводим дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить выкладки, предварительно выделим в знаменателях дробей множитель .
;
;
;
.

Таким образом, задача свелась к вычислению предела от дроби многочленов:
.
Применяем описанные выше методы.

Находим значения числителя и знаменателя при :
;
.
Поскольку числитель и знаменатель равны нулю, то это неопределенность вида 0/0. В знаменателе множитель уже выделен. Выделим этот множитель в числителе:
.
Находим предел:
.

Ответ

.

Решение пределов

Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word
  • Также решают

Примечание: число «пи» (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Некоторые виды записи пределов

sqrt(6-x)/(x^2-9)
sqrt(6-x)/(6+2*x)^(1/3)
log(1-tan(x),5)/sin(x*pi)
(x^2+2*x-2/3)/(x^3+x)
((3-3*x)/(4-3*x))^(2*x+1)

Например, найти пределзапишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity. Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции


Производная функции:
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Вычисление интегралов см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.
Вычислить указанные пределы:

1. = .

2. = 3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
. 4. .
5. = =

6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; .
Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а) =
Ответ: 1/5

б)

= Ответ: 1/6 в) = e-2/2 = e-1 Ответ: 1/e

д)

Ответ: 1/10

Примеры пределов с решениями

  • Попробуйте решить указанные ниже задачи на вычисление пределов и смежные вопросы.
  • Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Определение предела последовательности

Используя определение предела последовательности доказать, что
>>> >>> >>> >>> >>>

Применяя теорему о промежуточной последовательности, и используя то, что , найти пределы:
>>> >>>

Используя определение бесконечно большой последовательности доказать, что
>>> >>> >>> >>>

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . . ,
после чего найти ее предел.
Решение >>>

Определение предела функции

Используя определение предела функции по Коши (эпсилон и дельта рассуждения) доказать, что
>>> >>> >>> >>> >>> >>>

Непрерывность функции

Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x. Решение >>>
Используя определение непрерывности по Коши доказать, что функция непрерывна для всех . Решение >>>

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
. Решение >>>

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
. Решение >>>

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
. Решение >>>

Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a. То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n. Решение >>>

Вычисление пределов

Найти, если существует, предел функции:
. Решение >>>

Найти односторонние пределы сложной функции в точке :
и . Решение >>>

Найти пределы, используя правило Лопиталя.
>>> >>> >>> >>> >>> >>>

Найти пределы, применяя эквивалентные функции.
>>> >>> >>> >>>

Предел функции.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x0, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x0, и которая сходится к точке x0 (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x0, но которая не содержит x0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x0), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 < | x – x0 | < δ, будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε.

Найти предел функции.

Найти предел функции — будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A, записывается таким образом:

Причем значение, к которому стремится переменная x, может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.

Чтоб понять, как находить пределы функции, лучше всего посмотреть примеры решения.

Пример 1:

Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/x при:

x → 2, x → 0, x → ∞.

Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:

Найдем второй предел функции. Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:

Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x. Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:

Ответ

Пример 2:

Необходимо вычислить предел функции

Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя – это x3, выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Ответ

Пример 3:

Необходимо рассчитать предел

Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x2 + 2x — 3:

D = 22 – 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √D = √16 = 4

x1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x1 = -3; x2 = 1.

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

  1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
  2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть ∞. Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо ∞ — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
  3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо ∞. Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *