Как найти высоты параллелограмма

Параллелограмм

  • Высота
  • Площадь

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если у параллелограмма все углы прямые, то такой параллелограмм называется прямоугольником, а прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Все параллелограммы обладают следующими свойствами:

  • противоположные стороны равны:

    AB = CD и BC = DA

  • противолежащие углы равны:

    ∠ABC = ∠CDA и ∠DAB = ∠BCD

  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:

    ∠ABC + ∠BCD = 180°
    ∠BCD + ∠CDA = 180°
    ∠CDA + ∠DAB = 180°
    ∠DAB + ∠ABC = 180°

  • в точке пересечения диагонали делятся пополам:

    AO = OC и BO = OD

  • каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

    ΔABC = ΔCDA и ΔABD = ΔBCD

  • точка пересечения диагоналей – это центр симметрии параллелограмма:

    Точка O – это центр симметрии.

Высота

Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием, а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, – высотой.

Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.

Площадь

Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD:

Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:

площадь ABCD = AD · BE

Что такое высота параллелограмма? Сколько у параллелограмма высот?

Что такое основание параллелограмма?

Определение.

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.

Высотой параллелограмма также называют длину этого перпендикуляра. Расстояние между противоположными сторонами параллелограмма равно высоте параллелограмма.

рисунок 1

На рисунке 1

BK, PF, DE — высоты параллелограмма.

BK=PF=DE.

BK, PF, DE — меньшие высоты параллелограмма.

Меньшая высота параллелограмма — это высота, проведенная к его большей стороне.

рисунок 2

На рисунке 2

BM, DL — высоты параллелограмма.

BM=DL.

BM, DL — большие высоты параллелограмма.

Большая высота высота параллелограмма — это высота, проведенная к ее меньшей стороне.

рисунок 3

На рисунке 3 BK и BM — высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупого угла B.

Из них BM — большая высота параллелограмма ABCD, BK — его меньшая высота.

рисунок 4

На рисунке 4 CN и CH — высоты, проведенные из вершины острого угла C параллелограмма ABCD.

Из них CN — меньшая высота, CH- большая высота параллелограмма.

Иногда одну из сторон называют основанием параллелограмма.

Например, на рисунке 3 AD — основание параллелограмма, BK — проведенная к нему высота.

CD тоже можно считать основанием параллелограмма. BM — проведенная к нему высота.

Но чаще об основании говорят, когда хотят подчеркнуть, что эта сторона — нижняя горизонтальная (для понимания того, как лучше выполнить рисунок).

Как найти высоту параллелограмма

Задача.
В параллелограмме проведена высота, которая выходит из вершины тупого угла. Эта высота делит основание параллелограмма на две равные части. Острый угол равен 30 градусов. Диагональ параллелограмма, которая соединяет вершины тупых углов, равна 10 см.
Найдем высоту параллелограмма и углы между диагональю и сторонами параллелограмма.

Решение.

Построим параллелограмм ABCD. Проведем в нем высоту ВЕ и диагональ BD.
Согласно условию задачи AE = ED.
Рассмотрим треугольники DBE и ABE. Они равные, поскольку согласно 1-му признаку равенства треугольников у них равны две соответствующие стороны (AE = ED, а ВЕ – общая) и угол между ними (угол АЕВ и угол DEB – прямые, так как ВЕ – высота).
Так как треугольники равны, то и стороны АВ и BD – равны. Следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и угол ADB равен углу DAB и равен 30 градусов.
Тогда угол DBC тоже равен 30 градусов как внутренний накрест лежащий при параллельных прямых AD и BC, а также секущей BD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE.
Найдем угол ABE:
АВЕ = 180 – АЕВ – ВАЕ;
АВЕ = 180 – 90 – 30;
АВЕ = 60.
Следовательно, угол EBD тоже равен 60 градусов.
Таким образом, угол между диагональю BD и стороной АВ равен:
ABD = АВЕ + DBE = 60 + 60 = 120 градусов.
Угол BDC равен углу ABD и также равен 120 градусов как внутренний накрест лежащий.
Найдем высоту из треугольника BED, используя определение косинуса:
BE / BD = cos (DBE);
BE / BD = cos 60 ;
BE / BD = ½;
ВЕ / 10 = ½;
BЕ = 5 (см).

Ответ: 5 см; 30 и 120 градусов.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Для вычисления площади параллелограмма применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Площадь параллелограмма – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Таблица с формулами площади параллелограмма (в конце страницы)

— Вычисления (показано) (скрыто)
— примечания (показано) (скрыто)
1

Площадь параллелограмма по основанию и высоте параллелограмма

… подготовка … a — сторона h — высота
2

Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону

… подготовка … b — сторона hb — высота
3

Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

… подготовка … a — сторона b — сторона α° — угол между сторонами
4

Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями

… подготовка … d1 — диагональ d2 — диагональ α° — угол между диагоналями
5

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

… подготовка … a — сторона r — радиус вписанной окружности
6

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

… подготовка … r — радиус вписанной окружности α° — угол между сторонами

Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади параллелограмма

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскиз формула
1 основание и высота
2 сторона и высота,
опущенная на эту сторону
3 две стороны и угол между ними
4 диагонали и угол между ними
5 вписанная окружность и сторона
6 вписанная окружность и угол между сторонами

Определения

Параллелограмм — это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

Высота параллелограмма – это отрезок проведенный из вершины параллелограмма к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Некоторые свойства параллелограмма:

  • Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов
  • Сумма углов, прилегающих к любой из сторон равна 180 градусов
  • Противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину
  • Противолежащие углы равны

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Как найти высоту параллелограмма?

Параллелограмм — это четырехугольник с противолежащими и попарно параллельными друг другу сторонами.

Высота параллелограмма — это линия, перпендикулярная одной из сторон параллелограмма и соединяющая эту сторону с противолежащим углом.

Для того чтобы узнать, как найти длину высоты параллелограмма, обратимся к формулам. Высота чаще всего обозначается буквой h.

Способ нахождения высоты зависит от известных нам величин в задании. Рассмотрим разные способы на конкретных примерах.

Пример 1

Даны площадь (S) и длина основания (a).

  • Формула: h=S/a

Пример: Площадь параллелограмма равна 100 см2, основание, к которому проведена высота, равно 20 см. Найдите высоту.

  • h= 100/20 =5
  • Ответ: 5 см

Пример 2

Даны длина прилежащей к высоте стороны параллелограмма (b) и угол, противоположный самой высоте (a).

  • Формула: h = b* sin a

Пример: Обозначим наш параллелограмм буквами ABCD, высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Длина стороны AB равна 20 см, угол BAD равен 30 градусов. Найдите высоту.

Решение:

  • h = 20 * sin 30° = 20 * 0,5 = 10

Ответ: 10 см

Пример 3

Даны длина стороны параллелограмма, прилегающая к высоте (n) и длина отсекаемой от основания части стороны (m).

Формула:

  • h = корень из (n2 — m2)

Пример: в параллелограмме ABCD высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Длина AB равна 5 см, длина АЕ равна 3 см. Найдите высоту.

Решение:

  • h = корень из (AD2 — AB2)
  • h = корень из (52-32) = 4
  • Ответ: 4 см

Пример 4

Даны длина диагонали, выходящей из того же угла, что и высота (d), и длина отсекаемой от основания части стороны (m).

Формула:

  • h= корень из (d2 — m2)

Пример: в параллелограмме ABCD высота BE проходит из угла ABC к стороне AD. Диагональ BD равна 5 см, длина ED = 4 см.

  • h = корень из (BD2 — ED2)
  • h= корень из (52 — 42) = 3
  • Ответ: 3 см

Если в задании требуется найти большую высоту параллелограмма, то необходимо посчитать длины обеих высот и выбрать наибольшее значение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *