Как найти синус?

Содержание

Формулы тригонометрии

Формулы тригонометрии (тригонометрические формулы) или тригонометрические тождества описывают зависимости между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и применяются при решении математических задач.

Ниже указаны основные тригонометрические тождества (равенства), формулы понижения степени, формулы двойного угла, косинус двойного угла, синус двойного угла, а также другие формулы. Дополнительно приведены значения тригонометрических функций для наиболее распространённых углов.

Основные тождества

… Подготовка формул …

Формулы двойного угла

… Подготовка формул …

Формулы тройного угла

… Подготовка формул …

Формулы понижения степени

… Подготовка формул … … Подготовка формул … … Подготовка формул …

Формулы понижения степени
половинного аргумента

… Подготовка формул …

Формулы сложения

… Подготовка формул …

Формулы вычитания

… Подготовка формул …

Формулы преобразования суммы
в формулы произведения

… Подготовка формул …

Формулы преобразования разности
в формулы произведения

… Подготовка формул …

Формулы преобразования суммы

… Подготовка формул …

Формулы преобразования произведения
в формулы суммы и разности

… Подготовка формул …

Формулы преобразования произведения
функций в степени

… Подготовка формул … … Подготовка формул …

Универсальная
тригонометрическая подстановка

… Подготовка формул …

Значения тригонометрических функций

α 0
α° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
sin α 0 1 0 −1 0
cos α 1 0 −1 0 1
tg α 0 1 −1 0 1 −1 0
ctg α 1 0 −1 1 0 −1

Теория

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Тождество – это равенство, справедливое при любых значениях, входящих в него переменных

Скачать тригонометрические формулы

Вы можете скачать тригонометрические формулы в виде картинки:

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию.

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться

Как найти синус угла?

Допоможыть пж кр з геометрии​ В прямой призме АВСА1В1С1 угол ABC = 90°, угол CAB = 60°; АВ = 2 см, АА1=2√3 см. 1) Найдите площадь полной поверхности призмы. 2) Найдите площад ь сечения призмы плоскостью А1ВС. 3) Найдите угол между плоскостями А1ВС и ABC. 4) Найдите угол между прямой СС1 и плоскостью А1ВС. 5) Разложите вектор (A1M) ⃗ по векторам (А1А) ⃗, А1В и (А1С) ⃗, если М — точка пересечения медиан треугольника ABC. Покажіть допоможіть допоможіть допоможіть завдання на фото ​ 1.Точка Т – середина отрезка МР. Найдите координаты точки Р, если Т (-6;6) и М (-7; -8). 2. а) АВ – диаметр окружности с центром О. Найдите координаты центра окружности, если А (7; -2) и В (-1;-8). В)Запишите уравнение окружности, используя условия пункта а. 3. Точка М делит отрезок РК в отношении 3:1, считая от точки Р. Найдите координаты точки Р, если заданы координаты точек М и К: М (2; 1), К (3; 5). 4.Точки А(-8;-3), В(-8;5), С(2;5), D(6;-3) – вершины прямоугольной трапеции с основаниями ВC и АD. Найдите длину средней линии и площадь трапеции Помогите хотябы несколько Выберите верные утверждения: 1) Многоугольник, все стороны которого равны, вписанный в некоторую окружность, правильный. 2) Многоугольник, все углы ко торого равны, вписанный в некоторую окружность, правильный. 3) Многоугольник, все стороны которого равны, описанный вокруг некоторой окружности, правильный. 4) Многоугольник, все углы которого равны, описанный вокруг некоторой окружности, правильный. 5) Многоугольник, обладающий поворотной симметрией, которая совмещает его соседние вершины, правильный. 6) Длины дуг окружностей, проходящих через две данные точки, больше расстояния между этими точками и могут быть сколько угодно большими. 7) Два сектора одного круга, длины дуг которых равны, имеют равные площади. 8) Два сегмента одного круга, хорды которых равны, имеют равные площади. 9) Если площадь треугольника увеличилась, то длина окружности, описанной вокруг треугольника, тоже увеличилась. 10) Если площадь треугольника увеличилась, то площадь вписанного в него круга тоже увеличилась. Помогите пожалуйста. Только пж не письменно а скиньте пж фото своего листа Пж даю 40 баллов В усеченный конус вписан шар радиуса R. Образующие конуса наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите площадь боковой поверхности конуса Срочно!!! Решите контрольную по геометрии 9 класса Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24πсм2, его высота равна 2см. Найти площадь осевого сечения, его диагональ, угол ее наклона к плоскости ос нования и объем цилиндра. Металлический куб с ребром 4 см переплавили в шар. Найти массу шара, если плотность металла 2,7 г/см3 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *