Как найти площадь круга?

Задача: определить площадь круга, если известен радиус окружности

  • ВЕСЬ СПИСОК ЗАДАЧ с решениями на тему: «Площадь круга»
  • Задача: определить площадь круга, если известен радиус окружности
  • Задача: определить площадь круга, если известен диаметр окружности
  • Задача: определить площадь круга, если известна длина окружности
  • Задача: определить площадь кольца, если известны радиусы
  • Задача: квадрат вписан в окружность, определить площадь закрашенной области
  • Задача: окружность вписана в квадрат , определить площадь закрашенной области
  • Задача: равносторонний треугольник со стороной (a), вписан в окружность. Найти площадь круга.
  • Задача: равносторонний треугольник с высотой (h), вписан в окружность. Найти площадь круга.
  • Задача: равносторонний треугольник вписан в окружность. Дан отрезок ОК. Найти площадь круга.
  • Задача: прямоугольный треугольник вписан в окружность. Даны катеты. Найти площадь круга.
  • Задача: прямоугольный треугольник вписан в окружность. Даны катет и угол. Найти площадь круга.
  • Задача: прямоугольный треугольник вписан в окружность. Размер клетки 1см. Найти площадь круга.

Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.


Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:
Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:
Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Рассмотрим пример расчета площади круга, описанного вокруг квадрата.
Задача: дан квадрат, вписанный в круг. Его сторона a = 4 см. Найдите площадь окружности.
Для начала рассчитаем длину диагонали d.
Теперь подставляем данные в формулу

Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.

Площадь круга и его частей. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Круг

,
— радиус,
— число

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что

площадь круга радиуса ровно (!) в раз больше площади квадрата со стороной .

Ну вот, а теперь площадь части круга.

Сектор

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

, где:
— величина угла сектора в радианах (т.е. в числах , , и т.д.)

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Сегмент

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

И даже не старайся запомнить ничего другого, хотя, конечно, можно написать сразу формулу

,

но это и есть

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом. Как тогда быть?

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов и пересекаются по хорде, равной .

Найти площадь общей части кругов.

Решение

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром .

— правильный .

Значит,

(это по формуле ).

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

Итак,

А вот найти уже сложнее. Придется применять теорему косинусов!

Подставляем:

И теперь

Пример 2

На стороне треугольника как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если , , .

Решение

Проведем .

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Сектор и .

, значит

(смотри тему «Окружность. Вписанный угол»)

Нужно найти

И значит,

Это и есть ответ.

Что же общего в этих двух примерах, и есть ли общее правило?

Есть! И оно гласит:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных, таких как сектор, сегмент, треугольник и т.д., потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Основные формулы:

  • Площадь круга:

  • Площадь сектора:
    , где: — величина угла сектора в радианах.

  • Площадь сегмента:

Правило нахождения нестандартной части круга:

  • непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

.

Сережа 07 апреля 2019

Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой.дугой)гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

ответить

Алексей Шевчук 04 сентября 2019

Сережа, проведи прямую гипотенузу, таким образом ты разобьёшь фигуру на 2 части. Вычисли площадь каждой из них, потом сложи.

ответить

Александр 30 августа 2019

«π — число ≈ 3,1428». Ребята, поправьте.

ответить

Алексей Шевчук 04 сентября 2019

Спасибо, Александр

ответить

Роберт 23 ноября 2019

Как найти площадь усеченной полу окружности?

ответить

Алексей Шевчук 24 ноября 2019

Роберт, разрежьте её на два сектора и треугольник, посчитайте площадь каждой части, потом сложите.

ответить

Владислав 26 января 2020

Как найти площадь наложенных друг на друга секторов, с центрами внутри одной окружности?

ответить

Алексей Шевчук 27 января 2020

Владислав, не совсем понятно, это секторы одной окружности, то есть с общим центром? Или центры не совпадают?

ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *