Как найти объем конуса?

Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Конусы

Усеченные конусы

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Конусы

Рассмотрим произвольную плоскость α, точку S, не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α.

Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку S с точками указанного круга с центром в точке O, лежащего на плоскости α (рис. 1).

Рис.1

Определение 2.

Точку S называют вершиной конуса.

Отрезок SO называют осью конуса.

Расстояние от точки S до плоскостиРасстояние от точки S до плоскости α (длину отрезка SO) называют высотой конуса.

Круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость α называют плоскостью основания конуса.

Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса.

Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).

Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.

Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна

Усеченные конусы

Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO, радиусом основания r и высотой h. Плоскость β, параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины расстоянии h1 от вершины S, пересекает конус по кругу радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).

Рис.2

Из подобия прямоугольных треугольников SOA и SO1A1 можно выразить радиус r1 через известные величины r, h и h1:

Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO1 и радиусом основания r1, а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Рис.3

Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O1 радиуса r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок AA1.

Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h1.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Введем следующие обозначения

V объем конуса (объем усеченного конуса)
Sбок площадь боковой поверхности конуса
(площадь боковой поверхности усеченного конуса)
Sполн площадь полной поверхности конуса
(площадь полной поверхности усеченного конуса)
Sосн площадь основания конуса
Sверх.осн площадь верхнего основания усеченного конуса
Sнижн.осн площадь нижнего основания усеченного конуса

объем конуса (объем усеченного конуса)

Sбок

площадь боковой поверхности конуса
(площадь боковой поверхности усеченного конуса)

Sполн

площадь полной поверхности конуса
(площадь полной поверхности усеченного конуса)

Sосн

площадь основания конуса

Sверх.осн

площадь верхнего основания усеченного конуса

Sнижн.осн

площадь нижнего основания усеченного конуса

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

Фигура Рисунок Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Конус

Sосн = πr2,

Sбок= πrl,

Sполн = πr2 + πrl,

где
r – радиус основания конуса,
l – длина образующей конуса,
h – высота конуса.

Усеченный конус

Sбок= π (r + r1)l ,

где
h – высота усеченного конуса,
r – радиус нижнего основания усеченного конуса,
r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,

l – длина образующей усеченного конуса.

Конус

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Sосн = πr2,

Sбок= πrl,

Sполн = πr2 + πrl,

где
r – радиус основания конуса,
l – длина образующей конуса,
h – высота конуса.

Усеченный конус

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

,

Sбок= π (r + r1)l ,

где
h – высота усеченного конуса,
r – радиус нижнего основания усеченного конуса,
r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса,

l – длина образующей усеченного конуса.

Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Объём конуса

Данный калькулятор предназначен для расчёта объёма прямого кругового конуса. Он умеет делать расчёт двумя способами: через площадь основания и через радиус основания конуса.

Каким способом считать:

Через радиус основанияЧерез площадь основания

Радиус основания Высота Округлить число Пи до 3,14 Результат:

Решение

Конус — это геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольного треугольника вокруг катета.

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называт также конусом вращения.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.

Образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).

Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.

Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.

Формула объёма конуса

Формула объема конуса

Конус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.

Связанные определения для конуса

Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Угол раствора конуса. Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус. Круговой конус — конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Объем прямого углового конуса

Конус — это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Первый способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

\

где:
V — объем конуса
S — площадь основания конуса
H — высота конуса

Второй способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

\

где:
V — объем конуса
H — высота конуса
π — число пи (3.1415)
r — радиус конуса

Калькулятор объема конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

\

где:
V — объем конуса
h — расстояния от плоскости верхнего основания до вершины
H — расстояния от плоскости нижнего основания до вершины
S1 — площадь верхнего (ближнего к вершине) основания
S2 — площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *