Как найти катет треугольника?

Содержание

Как найти катет прямоугольного треугольника

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

1 Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

2 Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Катеты прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам

Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме Пифагора. Острые углы определяются по формулам тригонометрических функций острого угла — Синус угла — sin(A), Косинус угла — cos(A), Тангенс угла — tg(A), Котангенс угла — ctg(A), Секанс угла — sec(A), Косеканс угла — cosec(A).

Решение прямоугольного треугольника

Если известны катет a и гипотенуза c

Второй катет b определится по теореме Пифагора:

\

Угол A определится по формуле синуса:

\

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

\

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и гипотенуза)

Гипотенуза с определится по теореме Пифагора:

\

Угол A определится по формуле тангенса:

\

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180° то второй острый угол определится так:

\

Вычислить, найти решение прямоугольного треугольника по двум сторонам (катет и катет)

Решение прямоугольного треугольника по стороне и острому углу

Если дан острый угол A, то B найдется по формуле:

\

Стороны можно найти по следующим формулам:

Катет «A» и угол «α» прямоугольного треугольника

Зная один из катетов в прямоугольном треугольнике, можно найти второй катет и гипотенузу используя тригонометрические отношения – синус и тангенс известного угла. Так как отношение противолежащего углу катета к гипотенузе равно синусу этого угла, следовательно, чтобы найти гипотенузу нужно катет разделить на синус угла. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Второй катет можно найти из тангенса известного угла, как отношение известного катета к тангенсу. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Чтобы вычислить неизвестный угол в прямоугольном треугольнике нужно из 90 градусов вычесть величину угла α. β=90°-α

Периметр и площадь прямоугольного треугольника через катет и противолежащий ему угол можно выразить, подставив полученные ранее выражения для второго катета и гипотенузы в формулы. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/(2 tan⁡α )

Вычислить высоту также можно через тригонометрические отношения, но уже во внутреннем прямоугольном треугольнике со стороной a, который она образует. Для этого нужно сторону a, как гипотенузу такого треугольника умножить на синус угла β или косинус α, так как согласно тригонометрическим тождествам они равнозначны. (рис. 79.2) h=a cos⁡α

Средняя линия проходит параллельно одной из сторон треугольника, при этом образуя еще один подобный прямоугольный треугольник с такими же по величине углами, в котором все стороны в два раза меньше, чем у изначального. Исходя из этого, средние линии можно найти по следующим формулам, зная только катет и противолежащий ему угол. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α ) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α )

С задачками по геометрии сталкиваются все в средней школе. Кому-то такие задачки даются сложно, а кто-то их щелкает, как орешки. На самом деле эти задачи не особо сложные, просто нужно вникнуть и понять определенный алгоритм решения. Давайте подробнее разберем, как найти катет прямоугольного треугольника.

Геометрические определения

  • Если у треугольника есть прямой угол (∠=90о), то он является прямоугольным.
  • Катет – линия, создающая угол 90 градусов в треугольнике.
  • Гипотенуза – линия, которая находится напротив угла равного 90 градусов.
  • Две ортогональные линии образуют прямой угол, величина которого 90 градусов. Еще можно сказать, что это половина развернутого угла.

Свойства сторон в прямоугольном треугольнике

Гипотенуза всегда больше каждого из катетов.

BC>AC; BC>AB

Сторона, которая находится напротив угла равного 30 градусов, равна половине величины гипотенузы.

К прямоугольному треугольнику можно применить теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

AC2+AB2=BC2

Формулы для решения задач

  • Если мы знаем величину одного катета А и гипотенузы С, то второй катет B мы вычислим при помощи теоремы Пифагора.
  • Угол А мы может определись с помощью формулы синуса:
  • Так как сумма всех углов геометрической фигуры всегда равна 180 градусов, то другой острый угол можно вычислить по формуле:

В=180о-90о-А

Примеры решения задач

Задача №1:

В треугольнике АВС с ∠А=90 градусов, ∠С=60 градусов и катетом АВ=5 см. Найти длину катета АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике АВС найдем угол В:

∠В=90о — ∠С=90о — 60о = 30о

Поскольку ∠В=30 о, то катет АВ равен половине гипотенузы ВС, а значит,

ВС=2АВ=10 см

Длину катета АС найдем с помощью теоремы Пифагора:

Задача №2:

В равнобедренном и прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза больше катета на 2 см. Найти длину сторон треугольника.

Решение:

В треугольной фигуре АВС обозначим катеты АВ=АС=х, тогда ВС=2+х. Запишем теорему Пифагора для данного треугольника:

ВС2= АВ2 + АС2 => (х+2)2 = х2 + х2 или х2 – 4х – 4 = 0

Решая это уравнение и учитывая условия задачи, получим

х= (2+2) см

т.е. АВ = АС = (2+2) см, ВС = (4+2) см

Ответ: АВ = АС = (2+2) см, ВС = (4+2) см

Как видите, процесс решения геометрических задач по нахождению катета в прямоугольном треугольнике не особо сложный. Нужно просто приложить усилия, посидеть и вникнуть в суть задачи. Когда начнете писать формулы, решение придет к вам само. Удачи в решении задачек по геометрии, теперь вы знаете, как найти катет прямоугольного треугольника.

Видео по теме

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *