Как найти длину дуги?

Окружность и вписанный угол. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.

Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во-вторых – радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда стягивает дугу . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

Кроме хорд бывают еще и секущие.

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

А теперь – вписанный угол

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

При этом говорят, что вписанный угол опирается на дугу (или на хорду) .

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Смотри на картинку:

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

Видишь две дуги и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше ), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном – о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в раза или в раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву .

Итак, – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём радиан. Именно оттого, что половина окружности в раз больше радиуса.

Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число , получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна , а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква . И тогда эта длина окружности окажется равной . И конечно, длина окружности радиуса равна .

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится радиан.

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в .

Что имеем:

рад.

рад.

Значит, рад., то есть рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву или выражение и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку

от , то есть от
от , то есть от
от , то есть от
это и есть
в раза больше, чем
А это раза по , то есть

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду ( ), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

Что же тут получается? Рассмотрим . Он равнобедренный – ведь и – радиусы. Значит, (обозначили их ).

Теперь посмотрим на . Это же внешний угол для ! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

То есть ! Неожиданный эффект. Но и есть центральный угол для вписанного .

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри .

Давай сделаем вот что: проведём диаметр . И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

и

Но ведь

и

Значит, (на чертеже , а )

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла .

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку . Все то же самое, но вместо суммы – разность.

, а

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга ) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол ( ), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри: какой угол является центральным для ?

Конечно, . Но он равен ! Ну вот, поэтому (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на ) и равен .

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

или такой?

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует .

a) ( как внешний угол для ). Но — вписанный, опирается на дугу — . – вписанный, опирается на дугу — .

Значит, .

Для красоты говорят:

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

– так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь — «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь (снова применяем свойство внешнего угла для ). То есть теперь .

И опять

И значит, . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

.

Елена 22 октября 2017

Очень полезная информация. Доступные объяснения. Здорово! Спасибо!

ответить

Александр (админ) 22 октября 2017

Спасибо, Елена! Попробуйте так же наш пробные ОГЭ и ЕГЭ. Он так же хорош.

ответить

Руслан 10 декабря 2019

В разделе «Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.» при попытке доказать что вписанный угол равен половине центрального угла намутили полную ересь… «проведём диаметр BK»… где на картинке чуть выше записи диаметр ВК? Там есть диаметр ВС, логично что читающий придет к выводу, что написанное здесь и далее будет относиться к картинке ниже, где диаметр ВК таки нарисован, ну тогда сопоставляя написанное и данную картинку мозг начинает кипеть «угол АВС = угол АВК + угол СВК», даже визуально видно, что это невозможно, ты о5 приходишь к выводу, что читая это ты должен смотреть на картинку выше, где отсутствует диаметр ВК, зато присутствует «хорда, проходящая через центр окружности» ВС, которую как бэ отменяется фразой, предшествующей рисунку «пусть центр лежит внутри АВС», но тот кто рисовал этого не понял, поэтому решил на парясь просто не рисовать диаметр ВК, неуверенно придя к выводу что это относится к следующему рисунку… короче походу тот, кто пишет доказательства и тот, кто рисует чертежи — разные люди… хотели как попроще, получилась муть…

ответить

Александр ; (админ) 11 декабря 2019

Спасибо за замечания, Руслан. Действительно тот, кто писал доказательства и тот, кто рисовал — разные люди. Одна математик, вторая — дизайнер. Видимо есть ошибка. Алексей посмотрит и исправит.

ответить

Алексей Шевчук 19 декабря 2019

Да, рисунок был с ошибкой, я исправил.

ответить

Длина дуги

Длина дуги окружности представляет собой часть длины самой окружности, поэтому она также будет зависеть от радиуса окружности. Поскольку дуга окружности образована определенным центральным углом, то ее длина, как и площадь сектора круга, — это определенная часть исходной длины окружности, относящаяся к ней как центральный угол сектора к полному углу круга в 360°. Поэтому формула длины дуги будет выглядеть следующим образом:

Формула длины дуги окружности через диаметр образуется подстановкой вместо радиуса половины диаметра:

Также можно подставить вместо радиуса корень из произведения площади круга на число π, выведенный из формулы площади круга:

Существует также формула Гюйгенса для расчета длины дуги окружности через хорду. Для того чтобы ей воспользоваться нужно провести перпендикуляр из середины хорды, соединяющий ее с самой дугой, а из точки соединения перпендикуляра с дугой провести еще два отрезка к концам хорды. Таким образом, мы получаем два конгруэнтных перпендикулярных треугольника, гипотенузы которых мы будем использовать в формуле под обозначением l, а саму хорду назовем L. Следует учитывать, что для углов более 60 градусов формула Гюйгенса дает ощутимую погрешность в расчетах.

Введение. Длина дуги окружности

Определение окружности

Окружностью (см. Рис. 1) называется множество всех точек плоскости, которые равноудалены от одной точки (центра).

Рис. 1. Окружность

Длина любой кривой (в том числе и дуги) приближённо описывается ломаной, вершины которой находятся на этой кривой. Если неограниченно измельчить звенья ломаной, то получим длину кривой (см. Рис. 2).

Рис. 2. Длина дуги окружности описывается ломаной

Длина окружности

Пусть дана окружность. Если изменить все радиусы данной окружности в раз, получим новую окружность, все размеры которой также изменятся в раз. Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру будет числом постоянным:

Такое отношение назвали числом пи (). Это число примерно равно 3,14.

Выразим из этого выражения длину окружности (l):

, где R – радиус окружности.

– длина окружности

Исходя из этой формулы, при :

– длина единичной окружности

Необходимо ввести такую единицу измерения угла, чтобы полный угол был равен . Такой единицей измерения угла является радиан.

Определение радиана

Угол в один радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см. Рис. 3).

Рис. 3. Угол в один радиан

Связь между радианом и градусом

Формула длины окружности , следовательно, в одну окружность укладывается радиусов (см. Рис. 4). Поэтому:

Рис. 4. В одну окружность укладывается радиусов

По полученной формуле можно переводить радианы в градусы или градусы в радианы. Например:

Формула длины дуги окружности

Дано: ; (см. Рис. 5).

Найти: .

Решение

Рис. 5. Длина дуги окружности

Дуга – это часть всей окружности. Длина окружности равна , в окружности укладывается радиан, следовательно, длина дуги окружности, которая соответствует углу в один радиан, равна:

В всего радиан, поэтому длина дуги окружности, соответствующая углу в радиан, равна:

Если , то:

Ответ: – формула длины дуги окружности.

Задача 1

Дано: окружность радиуса (см. Рис. 6).

Найти: 1. Длину дуги ; 2. Длину дуги , если .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Так как окружность единичная, то её длина равна . Длина дуги составляет длины всей окружности. Поэтому её длина равна:

2. Длина дуги единичной окружности равна:

Поэтому:

Ответ: 1. ; 2. .

Задача 2

Дано: окружность радиуса . Каждая четверть разделена пополам (см. Рис. 7).

Найти: 1. ; ; 2. ; 3. ; 4. .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Из предыдущей задачи известно, что длина четверти окружности равна . Следовательно:

4. соответствует развёрнутому углу, то есть половина длины окружности, следовательно:

Ответ: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Задача 3

Дано: окружность радиуса . (см. Рис. 8)

Найти: 1. ; ; 2. ; .

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Длина дуги равна , следовательно:

Ответ: 1. ; 2. ; .

Список литературы

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт aal100.narod.ru (Источник)

2. Интернет-сайт tvlad.ru (Источник)

Нахождение дуги окружности

Решение задачи

Данный урок показывает решение типовой геометрической задачи В8, которым целесообразно воспользоваться учащимися при подготовке к ЕГЭ по математике.

В ходе решения задачи рассматриваются такие понятия как касательная, дуга, центральный угол и радиус окружности, а также их свойства. Угол является центральным, так как это угол, вершина которого находится в центре окружности. Данный центральный угол опирается на искомую дугу . Таким образом, решение сводится к нахождению величины угла . Согласно определению, радиус окружности соединяет ее центр с любой точкой, лежащей на окружности. Следовательно, — радиус. Далее рассматривается касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Согласно свойству касательной она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, треугольник — прямоугольный. Учитывая, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , вычисляется величина угла , что и приводит к окончательному ответу.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *