Иррациональные

Реебят срочно, какие числа рациональные , а какие иррациональные

жды на сумму 4600000р., детской одежды 495000р. Затраты на приобретение одежды составили 2400000р., в т.ч. НДС 320000р. Оплата в месяц (ежемесячно): за аренду офиса составила 30000р., в т.ч.НДС 5000р., услуги сигнализации 5000р. Оплата в квартал: оплата коммунальных платежей 12000р., в т.ч.НДС 2000р., ., оплата ГСМ 24000, в т.ч. НДС 4000р., банковские услуги и услуги связи 2700р., общехозяйственные расходы 1350р Организация имеет в собственности имущество склад остаточная стоимость на начало года 1900000р. с остатком амортизации 4,5 лет., земельный участок под складом с кадастровой стоимостью 700000р. на начало года и автомобиль мощность 130л.с., остаточная стоимость 240000р. с остатком амортизации 2 года В штате организации: 1. Директор зарплата 52т.р. в месяц, трое детей 26 лет, 21год-студент заочник и 16лет 2. Ст. менеджер 46т.р., двое детей 15 и 12 лет 3. Менеджер 29т.р, двое детей 8 и 10лет, единственный родитель 4. Кладовщик 30т.р., один ребёнок 19лет 5. Разнорабочий 21т.р., один ребёнок 8 лет. 6. Водитель-экспедитор 40т.р. 7. Уборщица 15т.р., один ребёнок, 4 года, 8. Бухгалтер 40т.р., один ребёнок 20лет-студент За январь и февраль уплачены взносы в ПФ-120120р., в ОМС-27846р., в ФСС-15834р., от несчаст.случаев в ФСС-1092р., НДФЛ-66924р. В марте менеджер была на больничном с 17 по 25 марта Её зарплата за 2018-2019г.г. составила 660000р., стаж более 10 лет В марте Ст.менеждеру, менеджеру, уборщице и бухгалтеру организация оплатила подарки по цене 550р. каждой и была оказана матпомощь уборщице в сумме 5000р. ИСЧИСЛИТЬ: 1.Сумму НДС к уплате за квартал т.г., какую сумму НДС надо уплатить к 25апреля т.г. 2.а)Сумму налога на имущество организации, б)земельный налог и в)транспортный налог за квартал.(ставка транспортного налога в Томской области для грузовых автомобилей до 100л.с-20р., от 100-150л.с.-30р. за л.с.) 3. Сумму больничного листа, из неё сумму за счёт работодателя 4. Сумму за март взносов в ПФ, ОМС, ФСС, от несчаст.случаев в ФСС, НДФЛ 5. Начислить сумму выдачи зарплаты на руки каждому работнику за март. 6.Определить сумму налога на прибыль за 1 квартал. т.г. 7. На сколько меньше бы платила организация, если бы с начала года применяла упрощённую систему налогообложения по объекту налогообложения доходы, уменьшенные на величину расходов. 8. В связи с последними изменениями в законодательстве с АПРЕЛЯ т.г. субъекты малого и среднего предпринимательства уплачивают с суммы зарплаты до МРОТ в обычном порядке, а более МРОТа(12130р.) взносы в пониженном размере 15% вместо 30%, а именно в ПФ 10% вместо 22%, в ОМС 5% вместо 5,1%. Директор просит рассчитать на сколько меньше нужно будет заплатить платежей связанных с зарплатой за апрель в сравнении с мартом исходя из штатной зарплаты.

Несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны

Напомним, что по теореме Пифагора квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов. Следовательно, в равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами равными единице гипотенуза удовлетворяет соотношению. Отложим в положительном направлении на числовой оси эту гипотенузу (см. рис. 4). Получаем точку, которой должно соответствовать числоКакова природа этого числа? Оказывается, что это число не является рациональным.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.

Доказательство см. в параграфе «Методы доказательств».

Существуют много других иррациональных чисел — и т. д. Итак, опять мы должны решать проблему расширения числовой системы до новой, включающей в себя, по крайней мере, все корни из положительных рациональных чисел и такое важное число «пи»— отношение длины окружности к диаметру (оно не выражается ни через какие корни из рациональных чисел).

    1. Бесконечные десятичные дроби

Бесконечной десятичной дробьюназывают бесконечную сумму (т.е. ряд) вида

где все – цифры, а впереди стоит либо знак «+», либо знак «-«. При этом конечную десятичную дробь

назовем приближением дроби (4) с точностью . Знак «+» обычно опускают. Более кратко, бесконечную десятичную дробь (4) записывают как

Например, .

Заметим, что рациональные числа изображаются периодическими бесконечными десятичными дробями. Например,

Для представления рационального числа в виде (периодической) бесконечной десятичной дроби мы просто делим уголком числитель на знаменатель. Для того, что бы представить периодическую десятичную дробь в виде рационального числа нужно воспользоваться теоремой о сумме геометрической прогрессии:

Формально, соотношение (6) можно проверить, умножая ряд на знаменатель, раскрывая скобки и убеждаясь, что все сокращается кроме 1. Вопросы сходимости этого ряда и законности процедуры умножения разобраны в главе «Ряды». Например,

Итак, . По этой причине бесконечную дробь вида

отождествляют с дробью , где предполагаетсяи.

Определение.Действительным числом назовем бесконечную десятичную дробь с учетом описанного выше отождествления. Совокупность действительных чисел обозначим. Числа из множестваназывают иррациональными.

Например, , т.е.— иррационально, как было доказано выше.

Лексикографический порядок распространяется и на бесконечные десятичные дроби. Таким образом, ℝстановиться линейно упорядоченным множеством.

    1. Координаты на числовой оси

Мы будем считать, что каждой точке на числовой прямой соответствует координата— действительное число. При этом, еслилежит в положительном направлении от начала координат, то координатаэто не что иное, как длина отрезка. Если жележит в отрицательном направлении от начала координат, то.

Пусть даны два действительных числа и, как координаты точек P и Q. Тогдатогда и только тогда, когда точка P лежит левее точкиQ.

    1. Сложение и умножение действительных чисел

Покажем на примере , как складываются две бесконечные десятичные дроби. Воспользовавшись калькулятором, получаем:

Складывая приближения с одним, двумя, тремя и т.д. десятичными знаками после запятой, вычисляем:

Получаем приближения бесконечной десятичной дроби 3,146264369941972342…, которая и есть сумма . Перемножаются бесконечные десятичные дроби по тому же принципу – перемножают их все более точные приближения, а затем следят, к какой бесконечной десятичной дроби стремятся эти приближения:

Здесь не так быстро как для сложения получаются «верные» десятичные знаки. Три верных знака мы получили, лишь вычислив произведение приближений с точностью до

Умножение распространяется на все действительные числа при помощи правила знаков:

Определение сложения и умножения двух бесконечных десятичных дробей итаково:

Предел здесь понимается в следующем смысле: для любого номера nнайдется такоеK(зависящее отn), что при любомn-ый десятичный знак рационального числаодин и тот же.

Теорема.Совокупностьℝвсех бесконечных десятичных дробей относительно определенных выше операций сложения и умножения образует поле действительных чисел в смысле следующего параграфа

Иррациональные числа известны людям с глубокой древности. Еще за несколько веков до нашей эры индийский математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых чисел (например, 2) невозможно выразить явно.

Данная статья является своего рода вводным уроком в тему «Иррациональные числа». Приведем определение и примеры иррациональных чисел с пояснением, а также выясним, как определить, является ли данное число иррациональным.

Иррациональные числа. Определение

Само название «иррациональные числа» как бы подсказывает нам определение. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Другими словами, такое число нельзя представить в виде дроби mn, где m — целое, а n — натуральное число.

Определение. Иррациональные числа

Иррациональные числа — это такие числа, которые в десятичной форме записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Для обозначения множества иррациональных чисел используется символ

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться

Часть 3. Иррациональные числа. Выводы

Иррациональные числа

Рассмотрим еще одно числовое множество – множество иррациональных чисел (то есть нерациональных, тех, которые нельзя представить в виде дроби ). Как и другие числа, иррациональные числа – придуманный нами инструмент. Как он был изобретён?

В Древней Греции жил ученый Пифагор, имя которого мы хорошо знаем благодаря доказанной им теореме: «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы» (рис. 1).

Рис. 1. Теорема Пифагора

Пифагор изучал прямоугольные треугольники и, в частности, один из самых простых – равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны (рис. 2).

Рис. 2. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом

Оказалось, что рациональных чисел недостаточно, чтобы выразить длину гипотенузы такого треугольника. То есть её нельзя представить в виде дроби вида , где и – целые, . Таким образом, возникла необходимость в создании нового инструмента – иррациональных чисел. В частности, для обозначения рассматриваемой длины гипотенузы ввели обозначение (число, квадрат которого в точности равен ).

Почему возникли иррациональные числа?

Одно из возможных объяснений открытия, сделанного Пифагором, связано со строем общества в те времена. Так как общество было рабовладельческим, практическими вещами занимались только рабы, а люди из верхнего культурного слоя (в современных формулировках – интеллигенция) не задумывались о практическом использовании чисел. Они рассматривали число как некую философскую сущность.

Для человека, занимающегося практической деятельностью, нет ничего страшного в том, что длину гипотенузы нельзя точно измерить. Ведь на практике абсолютно точных измерений не бывает – нам всегда достаточно какой-то точности. В большинстве случаев длину можно было считать приблизительно равной или . Точное значение нужно только в абстрактной идеальной модели, которой в реальной жизни не существует.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

А есть такие звуки, которые явно не запишешь, тогда их так и называют, например, «скрип тормозов».

Аналогично придуман знак , который означает длину гипотенузы треугольника, катеты которого равны (или число, квадрат которого равен ). В точности (с помощью цифр и знаков арифметических действий) мы его записать не сможем, но это и не нужно, ведь для практических целей нам всегда будет достаточно приблизительного значения.

Зачем нужны иррациональные числа?

Мы сказали, что все вычисления производятся с заданной точностью, тогда введение нового числа кажется необязательным. Но есть задачи, где является не конечным результатом, а промежуточным. Например, если мы извлекали корень, а потом возвели в квадрат, то абсолютно точный результат: . А вот если вместо корня из двух взять любое его приближение, то при возведении в квадрат мы уже не получим:

С увеличением точности результат будет все ближе к , но в точности равняться не будет.

То есть – это новый знак, в котором содержится потенциально любая точность, которая нам может понадобиться при решении той или иной конкретной задачи.

Итоги

Иррациональные числа – это еще один удобный инструмент для решения задач. Таких чисел много: например, число , , и т.д. Ни одно из таких чисел нельзя представить в виде дроби , где и – целые, . Вместе с рациональными эти числа образуют еще одно числовое множество – множество действительных (вещественных) чисел.

С помощью цифр мы можем записать любое натуральное число. Используя знаки действий, мы расширили множество натуральных чисел: отрицательные числа получились с использованием действия «вычитание» ( – означает отнимать ); рациональные числа получились с использованием действия «деление» ( – означает поделить на ).

Зачем расширяют множества? Чтобы, выполняя арифметические операции, оставаться внутри этого множества (такое свойство множеств называется замкнутостью). Действительно, расширив множество натуральных чисел до множества целых чисел, мы получили множество, замкнутое относительно операций сложения и вычитания. Аналогично множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырёх арифметических операций.

При переходе от рациональных чисел к действительным мы расширяем множество уже не для замкнутости множества относительно основных арифметических операций.

Однако заметим следующее: иррациональное число можно приблизить как угодно точно рациональным числом. Например, можно приблизить числом , если нужно точнее, то можно записать и т.д.

То есть можно сказать, что переход к новым множествам – это способ увеличения точности. Например, когда мы говорили о натуральных числах, между и не было промежуточных значений: если мой рост больше метра, но меньше метров, то нужно либо ввести новую единицу измерения, либо расширить множество. Когда мы говорим о множестве действительных чисел, мы можем говорить об измерениях с абсолютной точностью.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *