Формула дискриминанта при 0

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^{2}-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.

Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении квадратных уравнений. Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Если дискриминант положителен

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:

Ответ: \(x_{1}=1\); \(x_{2}=-3\)

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:

Ответ: \(x=2\)

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция \(y=x^2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение

Ответ: нет корней.

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Скачать статью

Общие сведения

Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий». Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных.

При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

Смысл дискриминанта

Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

Многочлен b2 — 4ac было решено принять за дискриминант. Это выражение по сути и определяет возможность существования решений и количество корней. Выполнив его расчёт, фактически и находится ответ уравнения.

Взаимосвязь параметра

Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a < 0.

Исходя из этого, дискриминант равняется отношению суммы или разности числового коэффициента, стоящего возле неизвестного в первой степени с корнем квадратным из b 2 — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b 2 — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b 2 — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.

Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

  1. Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
  2. Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b)2 = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = — b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
  3. Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) 2 = b 2 — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 92 = 81 и -92 = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

Типовые примеры

Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

Таким образом, любое выражение нужно стремиться переписать так, чтобы оно приняло классический вид. Это может быть умножение или деление на какое-либо число, поиск общего знаменателя. А уже после нужно искать дискриминант, по виду которого можно определить, есть ли смысл в дальнейшем нахождении корней уравнения.

Вычисления на онлайн-калькуляторе

Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

  • Math.semestr;
  • Kontrolnaya-rabota;
  • Onlinemschool;
  • Wpcalc;
  • Webmath.

Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

Дискриминант квадратного уравнения

Скрыть меню На главную страницу Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

  • Геометрия: начальная школа
  • Действия в столбик
  • Деление с остатком
  • Законы арифметики
  • Периметр
  • Порядок действий
  • Разряды и классы. Разрядные слагаемые
  • Счет в пределах 10 и 20

Математика 5 класс

  • Взаимно обратные числа и дроби
  • Десятичные дроби
  • Натуральные числа
  • Нахождение НОД и НОК
  • Обыкновенные дроби
  • Округление чисел
  • Перевод обыкновенной дроби в десятичную
  • Площадь
  • Проценты
  • Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
  • Среднее арифметическое
  • Упрощение выражений
  • Уравнения 5 класс
  • Числовые и буквенные выражения

Математика 6 класс

  • Масштаб
  • Модуль числа
  • Окружность. Площадь круга
  • Отношение чисел
  • Отрицательные и положительные числа
  • Периодическая дробь
  • Признаки делимости
  • Пропорции
  • Рациональные числа
  • Система координат
  • Целые числа

Алгебра 7 класс

  • Алгебраические дроби
  • Как применять формулы сокращённого умножения
  • Многочлены
  • Одночлены
  • Системы уравнений
  • Степени
  • Уравнения
  • Формулы сокращённого умножения
  • Функция в математике

Геометрия 7 класс

  • Точка, прямая и отрезок
  • Что такое аксиома и теорема

Алгебра 8 класс

  • Квадратичная функция. Парабола
  • Квадратные неравенства
  • Квадратные уравнения
  • Квадратный корень
  • Неравенства
  • Системы неравенств
  • Стандартный вид числа
  • Теорема Виета

Алгебра 9 класс

  • Отрицательная степень
  • Среднее
    геометрическое

Алгебра 10 класс

  • Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

  • Факториал

Можно дать другому разумный совет, но нельзя научить его разумному поведению.Франсуа де Ларошфуко

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *