Доказательство теоремы

Содержание

Теоремы за 7 класс по геометрии

«Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.»

Сокращенно его называют равенство «по двум сторонам и углу между ними».

Прежде чем перейти к доказательству теоремы необходимо вспомнить, что называют треугольником и в каком случае можно утверждать, что два треугольника равны.

Что такое треугольник и когда они считаются равными?

Треугольник – это геометрическая фигура из трёх отрезков, соединяющих три точки (при условии, что они не лежат на одной прямой. Эти точки считаются вершинами треугольника. А соединяющие их отрезки – сторонами).

На рисунке 1 представлен треугольник ABС. Который имеет три вершины (А, В и С). И стороны – АВ, АС и ВС.

Рисунок 1

Треугольники считаются равными, когда все их стороны и углы соответственно равны друг другу (в случае, когда равны лишь углы, а стороны пропорциональны, треугольники называются подобными). Таким образом очевидно, что равные треугольники можно наложить друг на друга – и они полностью совпадут.

Доказательство первого признака равенства треугольников

Дано:

Два треугольника: ABC и DEF (рисунок 2).

Рисунок 2

По условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF). Углы между отрезками также равны (т.е. ∠АСВ = ∠EFD).

Доказать, что треугольник ABC равен треугольнику DEF.

Доказательство:

  1. Поскольку имеется равенство углов (∠АСВ = ∠EFD), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина С совпадала с вершиной F.

  2. При этом отрезки СА и СВ наложатся на отрезки FE и FD.

  3. А поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF по условию), то отрезок АВ также совпадёт со стороной ED.

  4. Это в свою очередь даст совмещение вершин А и D, В и Е.

  5. Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.

Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PR∡N=∡R∡M=∡P

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так какMN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

2. Так как∡N=∡R и∡M=∡P, то лучи MK и NK наложатся соответственно на лучи PT и RT.

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения K и T.

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN=PRKN=TRMK=PT

Опять попробуем совместить треугольникиΔMNK и ΔPRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки MK иPT. Допустим, что точки N и R при этом не совмещаются.

Пусть O — середина отрезка NR. Соответственно данной информацииMN=PR, KN=TR. Треугольники MNR и KNR равнобедренные с общим основанием NR.

Поэтому их медианы MO и KO являются высотами, значит перпендикулярны NR. Прямые MO и KO не совпадают, так как точки M, K, O не лежат на одной прямой. Но через точку O прямой NR можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Доказано, что должны совместиться и вершины N и R.

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.

Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим,

существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти середину стороны;
2. Соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2. Найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3. Соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1. Провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2. Из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.

Также как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличается.

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самим коротким отрезком.

Равнобедренный треугольник

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

AB=BC — боковые стороны , AC — основание.

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, когда углу напротив основания провести биссектрису BD.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и докажем, чтоΔABD=ΔCBD.

Пусть BD — биссектриса треугольника ABC. ΔABD=ΔCBD по первому признаку равенства треугольников (AB=BC по условию, BD — общая сторона, ∡ABD=∡CBD, так как BD — биссектриса).

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. ∡A=∡C — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. AD=DC — доказано, что биссектриса является медианой.

3. ∡ADB=∡CDB — так как смежные углы, сумма которых180°, равны, то каждый из них равен90°, то есть медиана является высотой.

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье и четвёртое свойство.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, /\ МОL = /\ NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то эти две прямые параллельны.

Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.

Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.

Аксиома, в свою очередь, такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливость которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличии от аксиомы нужно доказать.

Докажем 1. Свойство.

Даны две параллельные прямые a и b. Верно ли, если прямая c параллельна прямой a, то она параллельна и прямой b?

Используем противоположное суждение.

Допустим, что возможна ситуация, когда прямая c параллельна одной из параллельных прямых — прямой a, пересекает другую прямую b в некоторой точке K.

Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой a. Такого не может быть, значит прямые b и cпересекаться не могут.

Мы доказали, что верно — если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.

Если некая прямая c пересекает одну из двух параллельных прямых a, то она пересекает и вторую параллельную прямую b.

Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможно ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.

Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей мы уже назвали в первой части теории.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

— накрест лежащие углы равны,

— соответственные углы равны,

— сумма односторонних углов равна 180°.

Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теоремы

  1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.

  2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

  4. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, топрямые параллельны.

Доказательство

1. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей MN (c). Докажем, что накрест лежащие углы 3 и 6 равны. Допустим, что углы 3 и 6 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 6, так, чтобы угол PMN и угол 6 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР||b. Мы выяснили, что через точку М проходят две прямые (прямые a и МР), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и угол 3 равен углу 6.

3.4. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами

Теорема 1

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют .

Дано: || , || .

Требуется доказать , , =, =.

Доказательство:

(соответственные при параллельных и и секущей ). (соответственные при параллельных и и секущей ). . (вертикальные), поэтому . = и = (по свойству смежных углов). Эти два равенства останутся верными, если заменим равным углом . Тогда = и =. Что и требовалось доказать.

Теорема 2

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны или в сумме составляют .

Дано: , , и .

Требуется доказать: ,,,=, =.

Доказательство:

=— и =—, поэтому . || и ||. (по теореме 1). Отсюда . Тогда , =, =.

1. Сумма углов треугольника

Теория:

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник KLM и докажем, что ∡K+∡L+∡M=180°.

Проведём через вершину L прямую a, параллельную стороне KM.

Углы, обозначенные 1, являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых a и KMсекущей KL, а углы, обозначенные 2 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ML.

Очевидно, сумма углов 1, 2 и 3 равна развёрнутому углу с вершиной L, т. е.
∡1+∡2+∡3= 180°или ∡K+∡L+∡M=180°.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство.

Из равенств ∡KML+∡BML= 180° и ∡K+∡L+∡KML=180° получаем, что ∡BML=∡K+∡L.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

У треугольника KLM все углы острые.

У треугольника KMN угол K=90°.

У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.

На рисунке MN — гипотенуза, MK и KN — катеты.

У треугольника KLM один угол тупой.

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).

Рис.1

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство следствия проводится методом от противного.

Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Из теоремы 2 получаем

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

1. Прямоугольные треугольники

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника∡1+∡2=90°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором∡A — прямой, ∡B=30°и значит, что ∡C=60°.

Докажем, что BC=2AC.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD как показано на рисунке.

Получим треугольник BCD, в котором∡B=∡D=60°, поэтому DC=BC. Но DC=2AC. Следовательно, BC=2AC.

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения:

если катеты одного прямоуголь­ника соответственно равны катетам другого прямоуголь­ного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 101);

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 102).

Учитывая, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, получаем еще два признака равенства прямоугольных треугольников:

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 103);

если катет и противолежащий ему угол одного прямоуголь­ного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 104).

В самом деле, в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Рассмотрим еще один признак равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямо­угольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы A и A₁ прямые, BC = B₁C₁ и AB = A₁B₁ (рис. 105, а). Докажем, что эти треугольники равны.

Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, вершина B – с вершиной B₁, а вершины C и C₁ оказались по разные стороны от прямой A₁B₁ (рис. 105, б). Поскольку ∠CA₁C₁ = 90° + 90° = 180°, то точки C, A₁ и C₁ будут лежать на одной прямой. Треугольник CB₁C₁ равнобедренный, поэтому ∠C = ∠C₁. Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C равны по гипотенузе (BC = B₁C₁) и острому углу (∠C = ∠C₁). Теорема доказана.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Определение.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой апроизвольную точку М1, опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1. Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Теорема.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Доказательство.

Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М1, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H1. Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что равно , где М2 – произвольная точка прямой a, отличная от точки M1, а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то , а прямая M2H2, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.

Скажите, как научиться писать доказательства в задачах по геометрии?

Из точки проведены две наклонные 24см и 30см.Одна из проекции равна 26см. Найдите другие проекции. Стальная болванка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,4 метра и высотой 1 метр. Сколько метров проволоки диаметр ом 5 миллиметров можно изготовить из этой болванки вытягиванием? Геометрия Векторы 100 баллов Дано вектори а(-7;4), b(1;3), c(x; -5) При якому значенні х модуль вектора a-b+c буде найменьший? Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна k, величина угла между диагоналями основания равна α, диагональ меньшей боковой грани сост авляет с плоскостью основания угол β. Найдите объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда.Нужно полное решение У трикутнику ABCкути B и C видносяться як 5:3 а кут А на 80 бильший за их ризницею Дан треугольник АВС: А (-3; -4; -5), В(1; 0; 3), С(2; 7; -3). Найдите косинус угла В.​ Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна k, величина угла между диагоналями основания равна α, диагональ меньшей боковой грани соста вляет с плоскостью основания угол β. Найдите объем и площадь боковой поверхности параллелепипеда.Пожалуйста подробное решение Какое из утверждений не является признаком равенства прямоугольных треугольников? 1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно рав ны катетам другого, то такие треугольники равны. 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники раны. 4. Если два острых угла одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум острым углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Прямоугольная площадка длиной 80 метров и шириной 25 метров наклонена так, что одна из меньших сторон находится выше противоположной стороны на 1,2 ме тра. Сколько кубических метров грунта нужно насыпать, чтобы сделать площадку горизонтальной? Срочно!!!Заранее спасибо!

Признаки, свойства, определения. Аксиомы и теоремы

Характеристики фигур

Какой участок можно отделить веревкой? Можно отделить треугольный участок, квадратный, круглый (см. рис. 1).

Рис. 1. Фигуры (слева направо): треугольник, квадрат, круг

У всех этих фигур есть общая характеристика – длина их границы, т. е. периметр (длина веревки), но все они отличаются – и по форме, и по площади.

Представьте, что вам нужно выбрать кусок торта – какой вы выберете? (см. рис. 2). Оказывается, лучше выбрать круглый кусок торта, потому что у него наибольшая площадь среди представленных на рисунке фигур, а значит, и наибольший объем.

Рис. 2. Круглый кусок торта имеет наибольшую площадь и объем

Что такое площадь? Это характеристика фигуры. Иногда ее несложно рассчитать для некоторых фигур (например, для квадрата или прямоугольника) (см. рис. 3).

Рис. 3. Формулы для нахождения площадей квадрата и прямоугольника

А иногда не сразу понятно, как это сделать, например для круга (см. рис. 4).

Рис. 4. Формула для нахождения площади круга

Но само по себе понятие площади – это удобный инструмент для описания формы окружающих нас объектов.

Зачем нужна геометрия

Геометрия как раз занимается изучением таких инструментов. Занятия геометрией требуют значительных сил и времени. Возникает естественный вопрос: зачем это нужно?

Есть очевидные ответы, такие как:

  1. Это требуется в школе.
  2. Это необходимо для некоторых профессий (например, архитектор или учитель математики).

Ну, а в остальных случаях часто можно услышать фразу: «Зачем мне заниматься геометрией? В обычной жизни она не понадобится». Это верно. Так же верно, как «чтение книг/музыка/ умение рисовать в обычной жизни не понадобится».

Можно быть хорошим баскетболистом и не знать, что Земля круглая. Или быть Шерлоком Холмсом и не знать, что она вертится вокруг Солнца. Непосредственно на профессиональные навыки наличие и отсутствие этих знаний вряд ли повлияет.

Но любой человек видит вокруг себя столько, сколько он знает. И чем больше он начинает разбираться в какой-то области, тем больше замечает, как окружающий мир пронизан явлениями, связанными с этой областью. Так, художник, глядя на озеро в лесу, видит намного больше, чем человек, который никак не связан с живописью.

Какой формы должно быть крыло у самолета? Какими должны быть опоры у моста? Как должна лететь ракета, чтобы попасть в цель? На эти и многие другие вопросы специалисты отвечают с помощью геометрии.

Но даже тем, кто не свяжет свою жизнь со сферами, в которых используется геометрия, полезно понимать, что лежит в основе всех этих расчетов. Занятия геометрией, как и любой другой наукой, обогащают наш мир, позволяют нам видеть и понимать намного больше и тем самым делают нас счастливее и духовно обогащают, как бы пафосно это ни звучало.

Цепочка определений геометрических фигур

Чтобы научиться писать, нужно знать буквы. Точно так же для изучения любой другой области нужно начать с азов этой самой области – самых простых объектов и их свойств.

Чтобы построить дом, нужно понимать, что он состоит из кирпичей, и разобраться, какими свойствами они обладают.

Домами в геометрии являются фигуры (см. рис. 5). Фигуры в геометрии имеют точное описание, определение.

Рис. 5. Различные геометрические фигуры

Например, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. рис. 6).

Рис. 6. Параллелограмм

Теперь можно задать вопрос, а что такое четырехугольник? У него тоже есть определение. Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами (см. рис. 7).

Рис. 7. Примеры четырехугольников

Можно продолжать уточнять определения понятий, которые мы используем в определении. Каждый объект мы будем определять с помощью тех, что мы узнали раньше.

В детстве мы часто задаем взрослым вопрос: «Почему?», причем делать это можно до бесконечности. И рано или поздно даже у самых терпеливых взрослых заканчиваются ответы, потому что просто не остается более простых примеров, с помощью которых можно объяснить то или иное явление. Вернемся к нашей цепочке определений.

Многоугольник – это замкнутая ломаная (ломаная, у которой начало и конец совпадают) (см. рис. 8).

Рис. 8. Примеры многоугольников

Ломаная – это фигура из последовательных отрезков, где конец одного является началом другого (см. рис. 9).

Рис. 9. Примеры ломаных

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками (см. рис. 10).

Рис. 10. Примеры отрезков

И вот мы добрались до понятий «точка» и «прямая» (см. рис. 11):

Рис. 11. Цепочка определений

Нам уже не удастся так же легко дать им определение. Хотя искушение велико. Ведь объекты очень простые.

Попробуйте сами дать определения. Если вы будете честны к себе, то поймете, что потерпели неудачу. Это происходит потому, что у нас нет более простых объектов, с помощью которых мы бы могли определить точку или прямую.

Базовые неопределяемые объекты

Объекты, которым мы не даем определения, называются основными геометрическими объектами. Или прямо так и говорят – неопределяемые понятия.

Вся геометрия строится вокруг нескольких простых объектов, которые мы не определяем: точка, прямая, плоскость (пока остановимся на этих трех). Почему именно они? Потому что это простые объекты, которые легко описываются и интуитивно понятны каждому.

На самом деле, один и тот же объект может иметь разную геометрическую форму, в зависимости от ситуации. Например, если мы решаем задачу, сколько времени автомобиль будет ехать из Москвы во Владивосток, то можем считать автомобиль точкой. Его размер совершенно неважен (см. рис. 12).

Рис. 12. Задача, в которой неважен размер автомобиля

Если же мы рассматриваем парковку автомобиля на стоянке, то, конечно, точкой считать его не сможем – нужно учитывать размеры (см. рис. 13).

Рис. 13. Задача, в которой важен размер автомобиля

Итак, точкой мы обозначаем любой объект, размеры которого очень малы по сравнению с остальными объектами в рамках решения поставленной задачи.

Дорога без поворотов, соединяющая два города, воспринимается нами как прямая. Мы понимаем, что именно по этой дороге проходит самый короткий путь между городами. При этом ширина дороги для нас неважна (см. рис. 14).

Рис. 14. Задача, для которой неважна ширина дороги

Но если мы переходим дорогу с интенсивным движением, то ширина становится важна и дорога – это уже не прямая, а какая-то полоса, т. е. прямоугольник (см. рис. 15).

Рис. 15. Задача, для которой важна ширина дороги

Если подвести итог:

  1. В геометрии есть несколько объектов, которым мы не даем определения. Они называются основными (базовыми) понятиями, основными фигурами, неопределяемыми понятиями (точка, прямая, плоскость и т. д.);
  2. Для всех остальных фигур существуют определения, в которых используются базовые неопределяемые объекты.

Задание 1 (необязательное). Дать определение ромбу (см. рис. 16). После этого дать определение той фигуре (или тем фигурам), которые использовались в этом определении. Далее продолжить раскручивать цепочку определений назад. В итоге вы должны дойти до неопределяемых понятий.

Рис. 16. Ромб

Теоремы и аксиомы

Мы будем давать определения разным геометрическим фигурам, чтобы уметь их классифицировать и изучать.

Во время изучения мы будем получать различные свойства геометрических фигур, которые будем формулировать, например, так:

  1. Через две точки можно провести прямую, причем только одну.
  2. Диагонали прямоугольника равны.
  3. Все стороны квадрата равны.

Это три верных утверждения. А откуда мы знаем, что они верные? Хочется сказать, что все они очевидны. Но на очевидность ссылаться нельзя. Очевидность не доказательство.

Геометрические иллюзии

Сравните длины двух отрезков (см. рис. 17).

Рис. 17. Кажется, что длины отрезков разные

Очевидно, отрезок длиннее отрезка . На самом деле они равны, в чем легко убедиться, совместив их (см. рис. 18).

Рис. 18. При совмещении отрезков видно, что их длины равны

Можно поклясться, что сторона длиннее, чем сторона (см. рис. 19).

Рис. 19. Кажется, что стороны не равны

Но это не так, они тоже равны (см. рис. 20).

Рис. 20. При совмещении сторон видно, что их длины равны

Очень сложно поверить, что четыре горизонтальные полоски параллельны. Но не надо верить, надо проверить (см. рис. 21).

Рис. 21. Параллельные горизонтальные полоски

Все это – примеры иллюзий – вещей, которые нам кажутся очевидно правильными, но опровергаются при тщательной проверке. Данные примеры убеждают нас, что кажущееся очевидным запросто может оказаться неверным, т. е. очевидность не может являться доказательством.

Утверждение можно считать верным только в том случае, если мы умеем его доказывать, опираясь на факты. Рассмотрим все три вышеперечисленных утверждения.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (см. рис. 22).

Рис. 22. Все стороны квадрата равны

Поэтому на вопрос «Правда ли, что у квадрата все стороны равны?» можно смело отвечать: «Да, стороны равны по определению квадрата».

С прямоугольником чуть сложнее. Чтобы доказать равенство его диагоналей (см. рис. 23), потребуется провести доказательство (в частности, мы докажем, что равны треугольники и , т. е. что при наложении друг на друга эти треугольники совпадут). На следующих уроках мы подробно разберем это доказательство.

Рис. 23. Диагонали прямоугольника равны

Утверждения, которые мы будем доказывать, называются теоремами (иногда, если утверждение не очень важное или используется для доказательства более сложной теоремы, его называют леммой).

Самое простое, казалось бы, утверждение – через две точки можно провести прямую, причем только одну (см. рис. 24) – нам не удастся доказать. У нас нет верных утверждений, более простых, чем это, на которые мы могли бы сослаться при доказательстве.

Рис. 24. Через две точки можно провести прямую, причем только одну

Ситуация очень похожа на неопределяемые понятия. Какие-то фигуры мы считаем известными нам, несмотря на то что не даем им определения. Точно так же какие-то утверждения мы принимаем без доказательства. Просто договариваемся, что это так. Такие утверждения в математике называют аксиомами.

Повторим:

  1. Есть неопределяемые понятия – те, которым мы не даем определения. Например, точка, прямая.
  2. Остальным фигурам мы даем четкое определение. Например, отрезок – часть прямой, которая ограничена двумя точками.
  3. Аксиома – утверждение, не требующее доказательства. Например: «через две точки можно провести прямую, причем только одну».
  4. Теорема (лемма) – утверждение, которое можно доказать, используя определения, аксиомы и другие теоремы, доказанные ранее. Например, «в прямоугольнике диагонали равны».

Часто можно услышать: «Аксиому не нужно доказывать, потому что она очевидна». Это не так.

Другие аксиоматики

Среди аксиом геометрии одна имеет особенную историю. Она известна как «пятый постулат Евклида» и имеет очень много эквивалентных формулировок и других названий.

Приведем самую известную формулировку: «В плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к аксиоме

Долгое время математики пытались исключить ее из списка аксиом, доказав как теорему. Но ничего не получалось: в доказательстве всегда обнаруживалось другое утверждение, которое, по сути, являлось эквивалентным этому самому пятому постулату.

Более того, оказалось, что если заменить пятый постулат противоположным утверждением: «через точку вне прямой можно провести более одной параллельной прямой», то противоречия не будет. А появится новая геометрия.

Может возникнуть вопрос: что такое «новая геометрия»? Разве можно использовать разные модели в качестве инструментов для описания одних и тех же объектов?

На самом деле, все зависит от наших исходных целей и предположений. Например, расстояние между объектами можно описывать длиной отрезка, который их соединяет, а можно – временем, которое нужно затратить, чтобы добраться из одного в другой. Вот пример, когда расстояние между пунктами в первом случае будет гораздо меньше расстояния между пунктами , а во втором – гораздо больше (см. рис. 26).

Рис. 26. Расстояние между пунктами можно описывать длиной соединяющего их отрезка, а можно – временем

Соответственно, свойства и теоремы для введенных таким образом расстояний будут тоже отличаться. И оба подхода могут оказаться полезными для решения практических задач.

Геометрия, которую мы изучаем в школе, исходит из того, что пятый постулат Евклида верен, и называется евклидовой геометрией.

Геометрия, которая считает верным противоположное утверждение, называется геометрией Лобачевского. И тоже нашла свое применение для решения некоторых задач (например, она используется в физике в специальной теории относительности).

Пример пятого постулата Евклида показывает нам, что мы выбираем утверждение в качестве аксиомы совсем не из-за его очевидности (раз бывает верным и противоположное утверждение), а потому что мы решили использовать его в качестве кирпичика для построения того или иного инструмента под названием «геометрия».

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Аксиомы являются базовыми утверждениями, опираясь на которые, мы будем доказывать различные теоремы (естественно, речь идет о первых, самых простых теоремах, в дальнейшем уже эти доказанные теоремы будут использоваться для доказательства более сложных и т. д.).

Рассмотрим основные аксиомы евклидовой геометрии (это один из возможных вариантов, т. е. есть несколько эквивалентных наборов, но принципиально они не отличаются):

  1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
  2. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
  3. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
  4. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков, равны.
  5. Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, соединяющий эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
  6. От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, равный данному. Все развернутые углы равны.
  7. Углы, полученные сложением или вычитанием соответственно равных углов, равны.

Заучивать наизусть эти аксиомы не нужно. Если на какие-то из них нужно будет сослаться при доказательстве, достаточно будет просто иметь этот список перед глазами.

Свойства и признаки

Теперь, имея список аксиом, мы можем начинать доказывать теоремы. Среди теорем есть два типа утверждений, которые мы будем встречать достаточно часто. Обычно они будут появляться при изучении новых фигур. Это свойства и признаки.

Свойства и признаки – понятия из обычной жизни, которые мы хорошо умеем различать. Например, свойство воды: предмет, погруженный в нее, намокает.

Свойство – это такое утверждение, которое обязательно должно выполняться для данного типа объектов. Если я человек, то у меня есть голова. Это свойство любого человека. А у дерева такого свойства нет.

Понятно, что указанное свойство может быть присуще не только этому типу объектов. У любой лошади тоже есть голова.

Пример геометрического свойства мы уже на этом уроке приводили: у прямоугольника диагонали равны. Это верно для любого прямоугольника, поэтому это – свойство.

Может ли такое свойство встретиться у другого типа четырехугольника? Может. Как и, например, голова есть не только у человека.

Второй тип утверждений – признак. Тоже понятно, что это такое. Признак – это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Яркое солнце в небе – верный признак того, что сейчас день. Если человек ходит в очках с толстыми стеклами – это верный признак того, что у него плохое зрение. Являются ли толстые очки свойством плохого зрения? Вовсе нет. Близорукий человек может ходить без очков, в линзах. Обязательно ли днем должно быть яркое солнце? Понятно, нет, т. е. это не свойство дня.

Давайте подумаем, является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника. У такого четырехугольника, где см (см. рис. 27), диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не признак прямоугольника.

Рис. 27. Четырехугольник с равными диагоналями, не являющийся прямоугольником

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны ( и ) и диагонали равны ( см), то это уже является верным признаком прямоугольника (см. рис. 28).

Рис. 28. Прямоугольник

Бывает, что и свойство, и признак эквивалентны. Молния – это верный признак грозы. Ни у какого другого природного явлении молнии не бывает. Но если происходит гроза, то молния обязательна. Т. е. молния – это не только признак, но и свойство грозы.

Такие утверждения часто называют необходимым и достаточным признаком.

Заключение

Итак, повторим:

  1. Существуют неопределяемые понятия. Их немного, и их нужно знать.
  2. Фигур и определений много. Нужно знать определения тех фигур, с которыми мы работаем в данный момент. Если вы забыли какое-то определение, попробуйте вывести его самостоятельно, а затем проверьте себя.
  3. Аксиом немного, помнить их наизусть не нужно, но полезно иметь список аксиом перед глазами.
  4. Теорем много. Нужно учиться их доказывать, опираясь на все те знания, которые мы получили перед этим – аксиомы и уже доказанные теоремы.

Чтобы начать заниматься геометрией, нужно запомнить основные правила и не нарушать их. Правил немного, они несложные. Если все делать правильно, то достаточно быстро занятия геометрией начнут приносить вам удовольствие, появится азарт, вы будете стараться решать те или иные задачи, а оттачивать мастерство можно хоть всю жизнь.

Список литературы

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал math-«prosto.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «схемо.рф» (Источник)

Домашнее задание

  1. Дать определение треугольнику, после этого – определения тем фигурам, которые использовались в этом определении, и т. д., в итоге дойти до неопределяемых понятий.
  2. Провести прямую и отметить на ней точки . Затем отметить на этой прямой точку , лежащую между точками и , и точку так, чтобы точка лежала между и . Назвать последовательно точки, отмеченные на прямой .
  3. Провести прямую и отметить на ней точки . Сколько отрезков получилось на прямой?

Как доказывать теоремы?

Смотрите видео

Как доказывать теоремы?

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе Геометрия.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *