Длина сторон треугольника

От нашего пользователя поступил запрос на создание калькулятора, рассчитывающего углы треугольника по заданным сторонам — Расчет углов треугольника.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.
Математически (см. рисунок) это выражается системой

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь теоремой косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора (см. рисунок)

, откуда

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Сторона a Сторона b Сторона с Точность вычисленияЗнаков после запятой: 2 Рассчитать Угол alpha (градусы) Угол beta (градусы) Угол gamma (градусы) save Сохранить extension Виджет

Стороны треугольника

Зная стороны треугольника, можно найти все остальные его параметры по выведенным для треугольника формулам, просто подставив их значения. Периметр треугольник будет представлять собой сумму всех его сторон, а площадь выводится по формуле Герона, как квадратный корень из произведения полупериметра на его разность с каждой стороной по очереди, и деленному на два. P=a+b+c S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)/2)

Все углы в треугольнике, зная стороны, можно найти через теорему косинусов. (рис.75) cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc

В произвольном треугольнике также есть три медианы m (делящие противоположную сторону пополам), три биссектрисы l (делящие угол пополам) и три высоты h (перпендикуляры из угла к стороне или ее проекции). Все их можно вычислить, имея в распоряжении значения трех сторон. Формула медианы, которая опущена на сторону c.(рис.75.1) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2

Формула биссектрисы, которая выходит из угла γ и опущена на сторону с. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)

Также в любом треугольнике можно провести среднюю линию, которая также как медиана обозначается буквой m, поэтому для их разделения, будем использовать заглавную M для средней линии. Средняя линия параллельна той стороне, которая выбрана основанием треугольника, и равна ее половине. Среди свойств средней линии можно отметить, что боковые стороны она делит на две равные части, поэтому если начертить все три средние линии в треугольнике, то получится еще один треугольник, подобный первому, в два раза меньше. (рис. 75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2

В каждый треугольник можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Центр вписанной в треугольник окружности будет находиться на пересечении его биссектрис, а радиус будет опущен под прямым углом к любой стороне и его формула выводится также по Герону. (рис.75.5) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Как найти сторону треугольника, зная две стороны

26 марта 2012 Автор КакПросто! Треугольник составляют три отрезка, соединенных своими крайними точками. Нахождение длины одного из этих отрезков — сторон треугольника — очень распространенная задача. Знания лишь длин двух сторон фигуры недостаточно для вычисления длины третьей, для этого необходим еще один параметр. Это может быть величина угла в одной из вершин фигуры, ее площадь, периметр, радиус вписанной или описанной окружностей и т. д. Инструкция 1 Если известно, что треугольник является прямоугольным, это дает вам знание величины одного из углов, т.е. недостающего для расчетов третьего параметра. Искомая сторона (C) может быть гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Тогда для ее вычисления извлеките квадратный корень и возведенных в квадрат и сложенных длин двух других сторон (A и B) этой фигуры: C=√(A²+B²). Если же искомая сторона является катетом, квадратный корень извлекайте из разности между квадратами длин большей (гипотенузы) и меньшей (второго катета) сторон: C=√(A²-B²). Эти формулы вытекают из теоремы Пифагора. 2 Знание в качестве третьего параметра периметра треугольника (P) сводит задачу вычисления длины недостающей стороны (С) к простейшей операции вычитания — отнимите от периметра длины обеих (A и B) известных сторон фигуры: C=P-A-B. Эта формула следует из определения периметра, который является длиной ломаной линии, ограничивающей площадь фигуры. 3 Наличие в исходных условиях величины угла (γ) между сторонами (A и B) известной длины потребует для нахождения длины третьей (С) вычисления тригонометрической функции. Возведите обе длины сторон в квадрат и сложите результаты. Затем из полученного значения вычтите произведение их же длин на косинус известного угла, а в завершение извлеките из полученной величины квадратный корень: С = √(A²+B²-A*B*cos(γ)). Теорема, которую вы использовали в расчетах, называется теоремой синусов. 4 Известная площадь треугольника (S) потребует использования определяет площадь, как половину произведения длины известных сторон (A и B) на синус угла между ними. Выразите из нее синус угла, и вы получите выражение 2*S/(A*B). Вторая формула позволит выразить косинус того же угла: так как сумма квадратов синуса и косинуса одинакового угла равна единице, косинус равен корню из разницы между единицей и квадратом полученного ранее выражения: √(1-(2*S/(A*B))²). Третья формула — теорема косинусов — была использована в предыдущем шаге, замените в ней косинус полученным выражением и вы будете иметь такую формулу для расчета: С = √(A²+B²-A*B*√(1-(2*S/(A*B))²)). Совет полезен?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *