Дисперсия: что это?

Как найти дисперсию?

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Формула дисперсии случайной величины

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Другие задачи с решениями по ТВ

Подробно решим ваши задачи на вычисление дисперсии

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

  • Введите число значений случайной величины К.
  • Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
  • Нажмите на кнопку «Вычислить».
  • Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Дисперсионная (вода волна) — Dispersion (water waves)

Эта статья о дисперсии волн на поверхности воды. Для других форм дисперсии см дисперсии (значения) .

В динамике жидкости , дисперсия из воды волн обычно относится к частотной дисперсии , что означает , что волны разных длин волн путешествовать на разных скоростях фазы . Волны на воде, в этом контексте, являются волны , распространяющиеся на поверхности воды , с гравитацией и поверхностного натяжения , как и восстанавливающих сил . В результате, вода с свободной поверхностью , как правило , рассматривается в качестве диспергирующей среды .

При определенной глубине воды, поверхностные гравитационные волны — то есть волны , возникающие на границе раздела воздух-вода и силы тяжести , как только силы возвращающей его к плоскостности — распространяются быстрее , с увеличением длины волны . С другой стороны, для заданной (фиксированной) длины волны, гравитационные волны в глубокой воде имеют большую фазовую скорость , чем в мелкой воде . В отличие от поведения гравитационных волн, капиллярные волны (т.е. только вынужденные поверхностным натяжением) распространяются быстрее для более коротких длин волн.

Кроме частотной дисперсии, вода волна также демонстрирует амплитуду дисперсии. Это нелинейное эффект, с помощью которых волна большей амплитуды имеет различную скорость фазы от волн малой амплитуды.

Дисперсия, виды и свойства дисперсии

Понятие дисперсии

Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):
где n — частота (повторяемость фактора Х)

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Пример 2. Определение групповой, средней из групповой, межгрупповой и общей дисперсии

Пример 3. Нахождение дисперсии и коэффициента вариации в группировочной таблице

Пример 4. Нахождение дисперсии в дискретном ряду

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии, вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i — величина интервала;
А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi — групповая средняя;
ni — число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

#Коэффициент детерминации рассчитывается для оценки качества…

+подбора уравнения регрессии

-параметров уравнения регрессии

-мультиколлинеарных факторов

-факторов, не включенных в уравнение регрессии

#Общая дисперсия служит для оценки влияния …

+как учтенных факторов, так и случайных воздействий

-учтенных явно в модели факторов

-случайных воздействий

-величины постоянной составляющей в уравнении

#Остаточная дисперсия служит для оценки влияния …

+случайных воздействий

-как учтенных факторов, так и случайных воздействий

-учтенных явно в модели факторов

-величины постоянной составляющей в уравнении

#Факторная дисперсия служит для оценки влияния …

+учтенных явно в модели факторов

-как учтенных факторов, так и случайных воздействий

-величины постоянной составляющей в уравнении

-случайных воздействий

#Значение коэффициента детерминации составило 0,9, следовательно …

+уравнением регрессии объяснено 90% дисперсии результативного признака

-уравнением регрессии объяснено 10% дисперсии результативного признака

-доля дисперсии результативного признака, объясненная регрессией, в общей дисперсии результативного признака составила 0,1

-доля дисперсии факторного признака, объясненная регрессией, в общей дисперсии факторного признака составила 0,9

#Для уравнения зависимости выручки от величины оборотных средств получено значение коэффициента детерминации, равное 0,7. Следовательно, ________ процентов дисперсии обусловлено случайными факторами

+30%

-70%

-0%

-100%

#Случайными воздействиями обусловлено 12% дисперсии результативного признака, следовательно, значение коэффициента детерминации составило …

+0,88

-0,12

#Качество подбора уравнения оценивает коэффициент …

+детерминации

-корреляции

-регрессии

-эластичности

#Значение коэффициента детерминации рассчитывается как отношение дисперсии результативного признака, объясненной регрессией, к ______ дисперсии результативного признака

+общей

-факторной

-остаточной

-средней

#Расчет значения коэффициента детерминации не позволяет оценить …

+существенность коэффициента регрессии

-качество подбора уравнения регрессии

-долю факторной дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака

-долю остаточной дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака

#При расчете значения коэффициента детерминации используется отношение …

+дисперсий

-математических ожиданий

-остаточных величин

-параметров уравнения регрессии

Корреляция подразумевает наличие связи между …

+переменными

-параметрами

-случайными факторами

-результатом и случайными факторами

#Графическое изображение наблюдений на декартовой плоскости координат называется полем …

+корреляции

-регрессии

-случайных воздействий

-автокорреляции

#В качестве показателя тесноты связи для линейного уравнения парной регрессии используется …

+линейный коэффициент корреляции

-множественный коэффициент линейной корреляции

-линейный коэффициент детерминации

-линейный коэффициент регрессии

#Если значение коэффициента корреляции равно единице, то связь между результатом и фактором …

+функциональная

-стохастическая

-отсутствует

-вероятностная

#Значение коэффициента корреляции может находится в отрезке …

+

#Значение коэффициента корреляции равно 0,9. Следовательно, значение коэффициента детерминации составит …

+0,81

-0,95

-0,3

-0,1

#Значение линейного коэффициента корреляции характеризует тесноту _____ связи

+линейной

-нелинейной

-множественной линейной

-случайной

#Значение коэффициента корреляции равно –1. Следовательно …

+связь функциональная

-связь отсутствует

-ситуация неопределенна

-связь слабая

#Значение коэффициента корреляции не характеризует …

+статистическую значимость уравнения

-тесноту связи

-корень из значения коэффициента детерминации

-силу связи

#Исследуется зависимость, которая характеризуется линейным уравнением множественной корреляции. Для уравнения рассчитано значение тесноты связи результативной переменной с набором факторов. В качестве этого показателя был использован множественный коэффициент …

+корреляции

-детерминации

-регрессии

-эластичности

#Для уравнения у = 3,14 + 2х +e значение коэффициента корреляции составило 2. Следовательно …

+значение коэффициента корреляции рассчитано с ошибкой

-связь функциональная

-теснота связи в 2 раза сильнее, чем для функциональной связи

-при увеличении фактора на единицу значение результата увеличивается в 2 раза

#Число степеней свободы связано с …

+числом единиц совокупности

-видом уравнения регрессии

-числом определяемых по совокупности констант

-характером исследуемых переменных

#Статистические гипотезы используются для оценки…

+значимости уравнения регрессии в целом

-тесноты связи между результатом и фактором

-автокорреляции в остатках

-тесноты связи между результатом и случайными факторами

#Если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного значения, то гипотеза о статистической незначимости уравнения …

+принимается

-отвергается

-несущественна

-незначима

#Совокупность значений критерия, при которых принимается нулевая гипотеза называется областью ________ гипотезы

+принятия

-отрицания

-допустимых значений

-нулевых значений

#Расчетное значение критерия Фишера определяется как отношение …

+дисперсий

-математических ожиданий

-случайных величин

-результата к фактору

#Критические значения критерия Фишера определяются по …

+уровню значимости и степеням свободы факторной и остаточной дисперсий

-уровню значимости

-степеням свободы факторной и остаточной дисперсий

-уровню значимости и степени свободы общей дисперсии

#Оценка значимости уравнения в целом осуществляется по критерию …

+Фишера

-Стьюдента

-Дарбина–Уотсона

-Пирсона

#Расчетное значение критерия Фишера определяется как …

+отношение факторной дисперсии к остаточной, рассчитанных на одну степень свободы

-разность факторной дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы

-отношение факторной дисперсии к остаточной

-сумма факторной дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы

#Табличное значение критерия Фишера служат для …

+проверки статистической гипотезы о равенстве факторной и остаточной дисперсий

-проверки статистической гипотезы о равенстве двух математических ожиданий

-проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсии некоторой гипотетической величине

-проверки статистической гипотезы о равенстве математического ожидания некоторой гипотетической величине

#При оценке статистической значимости уравнения и существенности связи осуществляется проверка …

+нулевой гипотезы

-существенности параметров

-существенности коэффициента корреляции

-существенности коэффициента детерминации

#Критерий Фишера используется для оценки значимости …

+построенного уравнения

-параметров

-коэффициента регрессии

-коэффициента детерминации

#Критические значения критерия Стьюдента определяются по…

+уровню значимости и одной степени свободы

-уровню незначимости

-двум степеням свободы

-трем и более степеням свободы

#Оценка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется по критерию …

+Стьюдента

-Фишера

-Дарбина–Уотсона

-Пирсона

#Критерий Стьюдента предназначен для определения значимости …

+каждого коэффициента регрессии

-уравнения

-каждого коэффициента корреляции

-построенного уравнения в целом

#Критическое значение критерия Стьюдента определяет …

+максимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о несущественности параметра

-минимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о несущественности параметра

-максимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о существенности параметра

-минимально возможную величину, допускающую принятие гипотезы о равенстве нулю значения параметра

#Для существенного параметра расчетное значение критерия Стьюдента …

+больше табличного значения критерия

-меньше табличного значения критерия

-не больше табличного значения критерия Стьюдента

-равно нулю

#Если коэффициент регрессии является несущественным, то его значение приравнивается к …

+нулю и соответствующий фактор не включается в модель

-к единице и не влияет на результат

-к нулю и соответствующий фактор включается в модель

-к табличному значению и соответствующий фактор не включается в модель

#Доверительный интервал характеризует …

+интервал значений параметра, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра

-интервал значений результата, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра

-интервал значений фактора, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра

-интервал значений коэффициента корреляции, куда с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра

#Стандартная ошибка рассчитывается для проверки существенности …

+параметра

-коэффициента корреляции

-случайной величины

-коэффициента детерминации

#Параметр является существенным, если …

+доверительный интервал не проходит через ноль

-расчетное значение критерия Стьюдента меньше табличного значения

-стандартная ошибка превышает половину значения самого параметра

-доверительный интервал проходит через ноль

#Включение фактора в модель целесообразно, если коэффициент регрессии при этом факторе является…

+существенным

-несущественным

-нулевым

-незначимым

#Если доверительный интервал для параметра проходит через точку ноль, следовательно …

+параметр является несущественным

-значение параметра может принимать как отрицательные, так и положительные значения

-параметр является существенным

-параметр признается статистически значимым

Дисперсия

Дисперсия (Variance)

Разделы: Метрики

Loginom: Статистика (визуализатор)

В статистике дисперсией называют величину, которая характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. В русскоязычной литературе дисперсия обозначается D, а в англоязычной var(X) (от англ. variance — дисперсия).

Пусть X — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

D=M)2],

где M — математическое ожидание.

  • Если случайная величина X дискретная, то:

D=n∑i=1pi(xi−M)2,

где xi — i-ое значение случайной величины, pi — вероятность того, что случайная величина принимает значение xi, n — количество значений случайной величины.

  • Если случайная величина X непрерывна, то:

D=∞∫−∞f(x)(x−M)2dx,

где f(x) — плотность вероятности случайной величины.

Квадратный корень из дисперсии, обозначаемый σ, называется среднеквадратическим отклонением.

Свойства дисперсии:

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D⩾0;
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D=0.
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

D=D+D+2cov(X,Y),

где cov(X,Y) — их ковариация.

  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

D=n∑i=1c2iD+2∑1⩽i<j⩽ncicjcov(Xi,Xj),

где ci∈R.

Дисперсия является одним из параметров нормального закона распределения. Чем больше дисперсия, тем более пологими являются «склоны» распределения и длиннее его «хвосты».

Чем выше дисперсия параметров модели (коэффициентов регрессии, значений переменных и т.д.), тем менее устойчивой она будет. Высокая дисперсия исходных данных позволяет предположить высокую значимость в них случайной компоненты, возможном наличии шума и аномальных значений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *