Дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения и его геометрический смысл

Одна из немногих формул, которую удается выучить к концу девятого класса практически всем ученикам, это формула нахождения дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. И чаще всего для ученика эти формулы представляют собой набор заклинаний, не наполненных особым смыслом.

Общеизвестно, что графиком квадратичной функции является парабола, однако рискну предположить, что не каждый учитель сможет не задумываясь показать на графике отрезок, имеющий отношение к дискриминанту.

Слово «дискриминант» происходит от латинского discriminans, отделяющий, разделяющий.

Попробуем разобраться, что же разделяет (или «дискриминирует») дискриминант. Согласно любому современному учебнику алгебры восьмого класса формула корней квадратного уравнения выводится путем выделения квадрата двучлена. В процессе выделения получается выражение D = b^2-4ac, которое и называют дискриминантом. Пример из учебника алгебры Бевз Г.П. (2016 год):

Обосновывается это название следующим образом:

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней — ведь невозможно, чтобы квадрат некоторого вещественного выражения был отрицательным числом.

Если D = 0, то данное уравнение имеет один корень — ведь только квадрат нуля равен нулю.

Если D > 0, то данное уравнение имеет два корня.

В результате ученик вынужден заучивать не только формулы нахождения корней квадратного уравнения, но и эти три утверждения — взаимосвязь дискриминанта с количеством корней.

На мой взгляд, методически правильнее сначала довести разбор понятия «дискриминант» до логического конца, указав, что дискриминант равен квадрату расстояния между корнями уравнения.

Рассмотрим для простоты приведенное квадратного уравнение (напомню, что любое квадратное уравнение легко привести к приведенному виду, разделив все коэффициенты на старший коэффициент). Итак, с учетом теоремы Виета:

Таким образом, если корни приведенного квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта.

Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями. Вот что показывает дискриминант — насколько далеки корни друг от друга, если они существуют. А связь с количеством корней — это всего лишь следствие этого простого факта.

Теперь взаимосвязь между дискриминантом и количеством корней ясна как на ладони: если дискриминант равен нулю, то расстояние между корнями равно нулю, они совпадают — два корня, образно говоря, наложились друг на друга и превратились в один корень. Далее, расстояние не может быть меньше нуля, а значит, при отрицательном дискриминанте корней нет. Если же дискриминант строго положителен, то корней два и расстояние между ними как раз и равно корню из дискриминанта.

Эти выводы интуитивно понятны и не требуют отдельного заучивания. Более того, понимание геометрического смысла дискриминанта помогает упростить и ускорить нахождение самих корней.

Начинающий ученик действует обычно по следующей схеме:

1) определяет коэффициенты уравнения;

2) записывает формулу дискриминанта, подставляет в нее значения коэффициентов, вычисляет значение;

3) извлекает квадратный корень из дискриминанта;

4) записывает формулу корней и поочередно вычисляет каждый из них.

Шаг 4 можно упростить, найдя меньший корень и затем для нахождения большего корня останется только прибавить корень из дискриминанта — а он у нас уже посчитан на шаге 3.

(В случае неприведенного квадратного уравнения нужно не забыть корень из дискриминанта разделить на старший коэффициент).

Вывод. Знание геометрического смысла дискриминанта квадратного уравнения позволяет ученикам получить наглядное представление о взаимосвязи корней и коэффициентов уравнения, упростить расчеты, уменьшить объем заучиваемой информации.

Дискриминант квадратного уравнения

  • Решение квадратных уравнений через дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения Формула корней Формула дискриминанта
ax2 + bx + c = 0 b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0 k2 — ac
x2 + px + q = 0
p2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения Формула
ax2 + bx + c = 0 , где D = b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0 , где D = k2 — ac
x2 + px + q = 0 , где D =
, где D = p2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 — 4ac

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Что такое дискриминант-1

Дискриминант — это одна из тех алгебраических вещей, которые меня отвратили от математики в конце школы. Потому что выдавались нам просто массивы формул, знай запоминай их и не спрашивай, откуда они берутся.
Ну ладно, теперь появилось время поразбираться, откуда же взялся дискриминант.

График квадратного уравнения — это парабола.
Рисуем графики:

Обнаруживаем, что с — это точка пересечения параболы с осью Y.
Теперь оставим с одинаковыми, а поиграем с b:

Обнаруживаем, что от b зависит местонахождение вершины параболы, причем координата Х вершины равна -b/2, а сама парабола вроде бы одна и та же, просто сдвигается относительно оси Y.
Теперь попробуем выяснить, на что влияет коэффициент а:

Сразу видно, что и ветки параболы сжимаются при увеличении а, и вершина параболы сдвигается, то есть, тоже зависит от а. Путем несложных подсчетов выясняем, что координата X вершины параболы вычисляется как -b/2a.
От знака коэффициента а зависит, куда смотрят ветки параболы:

При положительных а ветки смотрят вверх, при отрицательных а ветки смотрят вниз, при а=0 парабола превращается в прямую.
А что же дискриминант?
Если в последней картинке рассчитать дискриминанты, то выяснится, что, когда вся парабола выше оси Х, дискриминант будет отрицательным и корней у уравнения не будет, а точнее не будет точек пересечения параболы с осью Х (этого в школе не говорили вроде).
Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось Х в двух точках, и у нас есть два корня уравнения.
Если дискриминант равен нулю, только вершина параболы касается оси Х, и корень уравнения всего один.
Но интереснее случай, когда а=0, и тогда уравнение превращается в линейное, вернее, парабола превращается в линию. Интереснее потому, что формально дискриминант в этом случае можно рассчитать, и линия будет иметь точку пересечения с осью Х, но корень уравнения по школьной формуле вычислить нельзя, потому что в знаменателе дроби будет ноль.

Я им такую классную теорему придумал,
а они решают через дискриминант :-(((
(с) Франсуа Виет “Несуществующие высказывания”

Формула корней, или длинный способ

Всем, кто хотя бы мало-мальски присутствовал на уроках математики в 8 классе, известна формула корней квадратного уравнения. Решение по формуле корней часто называют в простонародье “решением через дискриминант”. Напомним вкратце формулу корней.

После того, как вычислили дискриминант, применяют формулу корней: x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} :

x_1=\frac{-3-7}{2 \cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2,5
x_2= \frac{-3+7}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1

И таким образом, уравнение решено. Оно имеет два корня: 1 и -2,5.

Но это уравнение, как и множество других предлагаемых в школьных учебниках/задачниках, можно было решить гораздо более быстрым способом, если знать пару-тройку лайфхаков. И речь не только о теореме Виета, хотя и она является полезным инструментом.

Лайфхак первый. Если a + b + c = 0, то x_1=1, x_2=\frac{c}{a}.

Он применяется только в том случае, если в квадратном уравнении все три коэффициента a, b, c при сложении дают 0. Например, у нас было уравнение 2×2 + 3x – 5 = 0. Сложив все три коэффициента, получим 2 + 3 – 5, что равно 0. В этом случае можно не считать дискриминант и не применять формулу корней. Вместо этого можно сразу написать, что

x_1=1,
x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-2,5

(заметьте, что тот же результат мы получили в формуле корней).

Часто спрашивают, всегда ли будет получаться x_1=1? Да, всегда, когда a + b + c = 0.

Лайфхак второй. Если a + c = b, то x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}.

x_1=-1,
x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-0,2

Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Рассмотрим уравнение x2 – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

Для нашего уравнения x2 – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

\begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т.е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

  • если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
  • и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *