Что такое дробь?

Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.

Доли целого

Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.

Определение 1

Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.

Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.

Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.

Определение 2

Половина – одна вторая доля предмета.

Треть – одна третья доля предмета.

Четверть – одна четвертая доля предмета.

Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина — 12 или 1/2; треть — 13 или 1/3; одна четвертая доля — 14 или 1/4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.

Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.

Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1/12. Две доли – 2/12; три доли – 3/12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12/12. Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.

Определение 3

Обыкновенная дробь – это запись вида mn или m/n, где m и n являются любыми натуральными числами.

Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4/9, 1134, 91754. А такие записи: 115, 1,94,3 не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Определение 4

Числителем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число m.

Знаменателем обыкновенной дроби mn или m/n является натуральное число n.

Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 754 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m1 имеет смысл натурального числа m. Это утверждение служит обоснованием равенства m1 = m.

Запишем последнее равенство так: m = m1. Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 741.

Определение 5

Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m1.

В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m1 может быть представлена натуральным числом m.

Черта дроби как знак деления

Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.

В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1n, а m долей 1n даст обыкновенную дробь mn. Следовательно, обыкновенную дробь mn можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.

Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m/n = m : n.

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 710: каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 18 яблока отлична от 78.

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Определение 6

Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби ab и cd, для которых справедливо равенство: a · d = b · c.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби ab и cd, для которых равенство: a · d = b · c не является верным.

Пример равных дробей: 13 и 412 – поскольку выполняется равенство 1 ·12 = 3 · 4.

В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.

Дробные числа

Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути — просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.

Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание

Дроби на координатном луче

Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь mn, необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.

Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 1410. Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 110 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 1410, расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.

Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 13, 26, 39, 515, 1133 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.

Определение 7

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n, то обыкновенная дробь mn является правильной.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined, то обыкновенная дробь mn является неправильной.

Приведем примеры: — правильные дроби:

Пример 1

5/9, 367, 138514;

— неправильные дроби:

Пример 2

13/13, 573, 901112, 167.

Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.

Определение 8

Правильная дробь – обыкновенная дробь, которая меньше единицы.

Неправильная дробь – обыкновенная дробь, равная или бОльшая единицы.

Например, дробь 812 – правильная, т.к. 8 12< 1. Дроби 532 и 1414 являются неправильными, т.к. 532 > 1, а 1414 = 1.

Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».

Рассмотрим неправильную дробь 88: она сообщает нам, что взято 8 долей предмета, состоящего из 8 долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь 88 по сути представляет целый предмет: 88=1. Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число 1.

Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: 115 и 363. Понятно, что дробь 115 сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь 115 – это 2 предмета и еще 15 от него. В свою очередь, 363 – дробь, означающая по сути 12 целых предметов.

Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: 88 = 1; 363 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 115 = 2 + 15). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».

Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.

Определение 9

Выделение целой части из неправильной дроби – это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.

Положительные и отрицательные дроби

Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби 517, 698, 6479 – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: +517, +698, +6479.

Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, -817, -7814 и т.д.

Положительная и отрицательная дробиmn и -mn – противоположные числа. Например, дроби 78 и -78 являются противоположными.

Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.

Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными (mn и -mn), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат О, но по разные стороны от нее.

Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде 0n. Такая дробь равна нулю, т.е. 0n= 0.

Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.

Определение 10

Рациональные числа – это множество положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0n.

Действия с дробями

Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами

  1. Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
  2. Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
  3. Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
  4. Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
  5. Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:

Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.

Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

где a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.

Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».

Выделение целой части дроби

Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

Схематически это выглядит так:

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби и получили новую дробь . Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

Получили:

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:

Подробное решение выглядит так:

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:

Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!

Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .

Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1. Сократить дробь

Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2

В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.

На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.

Пример 2. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.

НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20

Пример 3. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.

НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4

Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.

Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:

Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях: Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях: Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные: Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части Задание 10. Сократите следующую дробь на 3 Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом Задание 12. Сократите следующую дробь на 5 Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом Задание 14. Сократите следующие дроби: Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом: Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок: Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь: Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

дробь

В Википедии есть страница «дробь».
Слово дня 14 февраля 2014.

Русский

В Викиданных есть лексема дробь (L107676).

Морфологические и синтаксические свойства

падеж ед. ч. мн. ч.
Им. дро́бь дро́би
Р. дро́би дробе́й
Д. дро́би дробя́м
В. дро́бь дро́би
Тв. дро́бью дробя́ми
Пр. дро́би дробя́х

дробь

Существительное, неодушевлённое, женский род, 3-е склонение (тип склонения 8e по классификации А. А. Зализняка).

Корень: -дробь- .

Произношение

  • МФА: ед. ч. (файл)

    мн. ч.

Семантические свойства

ДробьДробь .

Значение

  1. собир. мелкие свинцовые шарики, употребляемые обычно для стрельбы из охотничьего ружья ◆ Мы выпалили из ружья дробью поверх голов их, они все испугались, женщины и некоторые из молодых людей отступили подалее в лес, а прочие все присели. Ф. Ф. Беллинсгаузен, «Двукратные изыскания в Южном Ледовитом океане и плавание вокруг света в продолжение 1819, 20 и 21 годов, совершённые на шлюпах «Востоке» и «Мирном» под начальством капитана Беллинсгаузена командира шлюпа «Восток», шлюпом «Мирным» начальствовал лейтенант Лазарев», 1831 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  2. матем. число, состоящее из долей единицы, нецелое число ◆ Мы присвоили последней дроби знак минус, ибо каждая из первых дробей отрицательна, вследствие того что положительно K. М. В. Остроградский, «Общие соображения относительно моментов сил», 1834 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Было уже ему без малого пятнадцать лет, когда перешёл он во второй класс, где, вместо сокращённого катехизиса и четырёх правил арифметики, принялся он за пространный, за книгу о должностях человека и за дроби. Н. В. Гоголь, «Иван Фёдорович Шпонька и его тётушка», 1831—1832 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Число, на которое здесь умножается r, может быть найдено только чрез приближение в десятичных дробях, его обыкновенно означают в математических книгах π, так, что величина дуги 200° будет выражаться πr. Н. И. Лобачевский, «Геометрия», 1823 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  3. частые повторяющиеся звуки, похожие на звуки рассыпающихся шариков (трель, щелкотня, бой) ◆ Бывало, как пустит дробь языком — ну соловей, точно соловей! А. А. Бестужев-Марлинский, «Мулла-Нур», 1836 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Выстрелы, говорит один свидетель, сыпались подобно дроби, битой десятью барабанщиками. А. С. Пушкин, «История Пугачёва», 1833 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Пошли, тронулись, барабан рассыпается частой дробью, идём… А. А. Бестужев-Марлинский, «Письма из Дагестана», 1831 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Овины курились за полночь, стук цепов унылою дробью разносился по всей окрестности. М. Е. Салтыков-Щедрин, «Господа Головлёвы», 1875—1880 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
  4. морск. и устар. военн. сигнал на горне или барабане, приказывающий прекратить огонь (стрельбу), а также команда о прекращении огня ◆ § 67. Во всяком случае, когда обучающий захочет окончить пальбу, то приказывает барабанщику ударить дробь. Что повторяют немедленно все барабанщики во фронте. § 68. По дроби солдаты перестают стрелять; всякий, зарядив ружьё, берёт оное наизготовку и дожидает команды. «Воинский устав о пехотной службе. Часть 1. О строевой службе.», 1811 . Источник — http://adjudant.ru/regulations/1811-infantery-08.htm.◆ На стрельбу, как правило, отводится 12 залпов, после расхода боеприпасов даётся команда: «Дробь!» и принимается доклад от командиров орудий: «Канал ствола чист!». Юрий Леонидович Кручинин, «Командую кораблём», 2010 . Источник — proza.ru.
  5. то же, что косая черта, типографский знак, используемый для обозначения операции деления ◆ А при некоторой поддержке дом «шесть дробь один» сумеет продержаться долго и тем расстроить немецкую программу. В. С. Гроссман, «Жизнь и судьба», 1960 (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)◆ В рамках дня памяти жертв сталинских репрессий и объявленного Советом Европы года преодоления коммунизма рассматривается дело Р-788, приговор Военной коллегии 4н-012045 дробь 55 по убийству Уманской Нины Константиновны. Александр Терехов, «Каменный мост», 1997-2008 (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)

Синонимы

Антонимы

Гиперонимы

  1. боеприпас
  2. число
  3. звук
  4. сигнал

Гипонимы

Родственные слова

Ближайшее родство

  • существительные: дробина, дробинка, дробность
  • прилагательные: дробный
  • глаголы: дробить, дробиться
  • наречия: подробно

Этимология

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

  • аликвотная дробь
  • десятичная дробь
  • обыкновенная дробь
  • периодическая дробь
  • рассыпаться мелкой дробью (перед кем-либо)
  • цепная дробь

Перевод

мелкие свинцовые шарики, употребляемые обычно для стрельбы

  • Английскийen: shot (small shot)
  • Армянскийhy: կոտորակ, մանրագնդակ, կոտորուք
  • Башкирскийba: йәҙрә, дробь
  • Белорусскийbe: шрот м.
  • Болгарскийbg: сачми мн. ч.
  • Греческийel: σκάγια мн. ч.
  • Датскийda: hagl
  • Идишyi: שרױט м.; בראָכטײל м. (мелкие кусочки)
  • Индонезийскийid: mimis, penabur, gotri
  • Испанскийes: munición ж., perdigón м.
  • Итальянскийit: pallini мн. ч.
  • Казахскийkk: бытыра
  • Киргизскийky: бытыра, чачма
  • Китайский (упрощ.): 散彈, 散弹 (sàndàn)
  • Кумыкскийkum: чачма
  • Латышскийlv: skrotis мн. ч.
  • Литовскийlt: šratai
  • Марийскийchm: ядра; троп
  • Немецкийde: Schrot
  • Нидерландскийnl: hagel
  • Норвежскийno: hagl
  • Осетинскийos: сабантъы
  • Польскийpl: śrut м.
  • Португальскийpt: chumbo м.
  • Румынскийro: alice мн. ч.
  • Таджикскийtg: сочма
  • Турецкийtr: saçma
  • Туркменскийtk: seçme
  • Украинскийuk: дріб м.
  • Финскийfi: haulit
  • Французскийfr: plomb de chasse
  • Хорватскийhr: sačma ж.
  • Чешскийcs: broky (brok)
  • Чувашскийcv: йӗтре
  • Шведскийsv: hagel
  • Эвенкийскийevn: дробь, доровли
  • Якутскийsah: доруобунньук

число, состоящее из долей единицы

  • Азербайджанскийaz: kəsr
  • Албанскийsq: thyesa
  • Английскийen: fraction
  • Армянскийhy: կոտորակ կոտարակ
  • Баскскийeu: zatiki; frakzio
  • Башкирскийba: кәсер
  • Белорусскийbe: дроб м.
  • Болгарскийbg: дроб
  • Бретонскийbr: kevrenn
  • Валлийскийcy: ffracsiwn
  • Венгерскийhu: tört, törtszám
  • Галисийскийgl: fracción ж.
  • Греческийel: κλάσμα ср.
  • Гэльскийgd: bloigh
  • Датскийda: brøk
  • Идишyi: בראָכצאָל ж.; דעצימאַל м. (десятичная)
  • Идоиio: fraciono
  • Индонезийскийid: pecahan
  • Ирландскийga: codán м.
  • Испанскийes: fracción ж., quebrado м.
  • Итальянскийit: frazione ж.
  • Казахскийkk: бөлшек
  • Каталанскийca: fracció ж.
  • Киргизскийky: бөлчөк
  • Китайский (упрощ.): 分数 (fēnshù)
  • Крымскотатарскийcrh: kesir
  • Кумыкскийkum: дробь
  • Латышскийlv: daļskaitlis
  • Литовскийlt: trupmena ж.
  • Ломбардскийlmo: frazziun ж.
  • Македонскийmk: дропка ж.
  • Малайскийms: pecahan
  • Марийскийchm: дробь
  • Мирандскийmwl: frasioṅ
  • Немецкийde: Bruch м. -s, Brüche; Bruchzahl ж.
  • Нидерландскийnl: breuk; fractie
  • Нижнесаксонскийnds: Bröök
  • Норвежскийno: brøk м., fraksjon м.
  • Окситанскийoc: fraccion
  • Осетинскийos: лыст
  • Персидскийfa: کسر
  • Польскийpl: ułamek м.
  • Португальскийpt: fração (fracção) ж., quebrado м.
  • Румынскийro: fracție ж.
  • Сербскийsr (кир.): разломак м.
  • Сербскийsr (лат.): razlomak м.
  • Сицилийскийscn: frazzioni
  • Словацкийsk: zlomok м.
  • Словенскийsl: ulomek м.
  • Таджикскийtg: каср
  • Татарскийtt (кир.): вакланма
  • Турецкийtr: kesir
  • Туркменскийtk: drob
  • Узбекскийuz: kasr (каср)
  • Украинскийuk: дріб м.
  • Финскийfi: murtoluku
  • Французскийfr: fraction ж.
  • Фризскийfy: breuk
  • Фриульскийfur: frazion
  • Хорватскийhr: razlomak м.
  • Чешскийcs: zlomek м.
  • Чувашскийcv: вак
  • Шведскийsv: bråk, bråktal
  • Шотландскийsco: fraction
  • Эвенкийскийevn: дробь
  • Эсперантоиeo: frakcio
  • Эстонскийet: segaarv
  • Якутскийsah: дробь
  • Японскийja: 分数 (bunsū)

Библиография

    Для улучшения этой статьи желательно:

    • Добавить синонимы в секцию «Семантические свойства»
    • Добавить хотя бы один перевод для каждого значения в секцию «Перевод»

    Башкирский

    дробь

    Существительное.

    Корень: —.

  1. дробь (для стрельбы) ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).

Ближайшее родство

    Для улучшения этой статьи желательно:

    • Добавить описание морфемного состава с помощью {{морфо}}
    • Добавить транскрипцию в секцию «Произношение» с помощью {{transcriptions}}
    • Добавить пример словоупотребления для значения с помощью {{пример}}
    • Добавить синонимы в секцию «Семантические свойства»
    • Добавить гиперонимы в секцию «Семантические свойства»

    Как написать дробь в ворде

    Обычному школьнику, студенту или офисному работнику приходится сталкиваться как с правильными дробями в Ворде, так и c неправильными. Правильно написанные дроби в Ворде такие как 1/3, 2/3, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/8, 3/8, 5/8 и 7/8 автоматически заменяются на миниатюрный вид (например, ¾, ¼ и так далее). А как сделать дробь в Ворде в привычном виде знает не каждый. Поэтому давайте начнём изучать данную проблему.

    Знак деления в Ворде 2007, 2010

    Есть 4 разных способа того, как можно написать дробь. Поставить дробную черту поможет вкладка «Вставка» — «Формула». Далее надо нажать на «Дробь» во вкладке «Конструктор» и выбрать соответствующий вариант.

  1. Вертикальная простая
  2. Диагональная
  3. Горизонтальная простая
  4. Маленькая простая

Чтобы напечатать внутри квадрата число, можно указать курсором по нужному квадрату или стрелками вверх/вниз рядом с цифровой клавиатурой. После внесения данных в формулу или уравнение, надо кликнуть по пустой области листа, чтобы выйти из режима «Формулы».

Знак деления в Ворд 2016, 2013

Чтобы вставить дробное значение необходимо повторить шаги:

  1. Вкладка «Вставка» раздел «Символы» и кнопка «Уравнение»;
  2. В выпадающем окне выбрать пункт «Вставить новое уравнение»;
  3. В меню «Конструктор» нажать на «Дробь». Далее выбрать соответствующий вариант: либо дробь через слеш, либо с помощью горизонтальной линии.

Деление посредством знака «Слеш/»

Помимо привычного горизонтального вида дробей, встречается и вертикальное деление в виде слеша, например: 1/2. Данный способ работает во всех версиях Ворда с 2003 по 2016. Найти и вставить символ можно следующим образом.

Вариант 1: С помощью кнопки «?/»

  1. Переключить с русского метода ввода слов на английский: сочетание клавиш «Shift+Alt» либо «Windows+пробел»;
  2. Установить курсор мыши на место, где нужно поставить дробную черту;
  3. Нажать кнопку правее от буквы «Ю».
  4. Напечатать необходимое значение делителя.

Вот готовый результат, как можно еще заменить знак деления.

Вариант 2: посредством функции «Символ»

Чтобы написать дробь простую и по диагонали, используйте:

  1. Вкладка «Вставка» — «Символ» — «Другие символы».
    Внимание! В секции «Шрифт» должен быть «Обычный текст», а в секции «Набор» — «Числовые формы». В ином случае вставить диагональную дробь не получится.
  2. После правильной настройки, выбрать соответствующее дробное число и нажать вставить.

Вариант 3. Код знака

На картинке ниже видно, что вставить обыкновенную дробь можно и с помощью сочетания клавиш, зная код знака. В нашем случае пишем код знака 215B и удерживая Alt нажимаем на X (английская).

Вот мы и рассмотрели все варианты написания дроби и самой дробной черты.

Как отключить автозамену знака «Деления»

Чтобы текстовый редактор Ворд не делал автозамену при вводе дробного числа, нужно отключить данную функцию в настройках. Выполните следующие действия:

  1. Зайти в «Файл» — далее в «Параметры»;
  2. Выбрать вкладку «Правописание» — далее в разделе «Параметры автозамены» нажать на кнопку «Параметры автозамены»;
  3. В новом окне перейти в раздел «Автоформат при вводе» и снять галочку в подразделе «Заменять при вводе» перед строкой «дроби (1/2) соответствующими знаками».
  4. Сохранить все изменения кнопкой «ОК».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *